[論文レビュー] Higher string topology on general spaces

Po Hu|ArXiv.org|Jan 8, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の有限次元単体複体上でのChas-SullivanのストリングトポロジーとCohen-Jonesのホモトピー論的実現を高次元に一般化する。特徴的なのは、$\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$ と表されるスペクトルを構成し、その特異的チェイン複体が $\mathcal{C}_k$-代数におけるHochschildコホモロジーを介して $\mathcal{C}_{k+1}$-代数構造を持つことである。主な結果として、このチェイン複体と $C^*X$ および $C_*\Omega^kX$ のHochschildコホモロジー複体との間でホモトピー同値が成立し、Chas-SullivanおよびCohen-Jonesの結果を任意の有限次元単体複体へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper, I give a generalized analogue of the string topology results of Chas and Sullivan, and of Cohen and Jones. For a finite simplicial complex $X$ and $k \geq 1$, I construct a spectrum $Maps(S^k, X)^{S(X)}$, and show that the corresponding chain complex is naturally homotopy equivalent to an algebra over the $(k+1)$-dimensional unframed little disk operad $\mathcal{C}_{k+1}$. I also prove Kontsevich's conjecture that the Quillen cohomology of a based $\mathcal{C}_k$-algebra (in the category of chain complexes) is equivalent to a shift of its Hochschild cohomology, as well as prove that the operad $C_{\ast}\mathcal{C}_k$ is Koszul-dual to itself up to a shift in the derived category. This gives one a natural notion of (derived) Koszul dual $C_{\ast}\mathcal{C}_k$-algebras. I show that the cochain complex of $X$ and the chain complex of $Ω^k X$ are Koszul dual to each other as $C_{\ast}\mathcal{C}_k$-algebras, and that the chain complex of $Maps(S^k, X)^{S(X)}$ is naturally equivalent to their (equivalent) Hochschild cohomology in the category of $C_{\ast}\mathcal{C}_k$-algebras.

研究の動機と目的

• Chas-SullivanのストリングトポロジーとCohen-Jonesのホモトピー論的実現を、一般の有限次元単体複体上での高次元版に拡張すること。
• 任意の有限CW複体 $X$ に対して、トムスペクトル $\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$ のチェイン複体に $\mathcal{C}_{k+1}$-代数構造を定義すること。
• このチェイン複体が、$\mathcal{C}_k$-代数の圏における $C^*X$ のHochschildコホモロジー複体と自然に同値であることを証明すること。
• Kontsevichの予想、すなわち基点付き $\mathcal{C}_k$-代数におけるQuillenコホモロジーとHochschildコホモロジーのシフト同値性を検証すること。
• $\mathcal{C}_k$ がシフトを除いて自己双対であることを確立し、$\mathcal{C}_k$-代数におけるホモトピー的Koszul双対性を定義すること。

提案手法

• 単体的埋め込みを用いて $S^N$ に埋め込み、一般の単体的複体に対する安定正規束をモデル化するパラメータ付きスペクトル $S(X)$ を構成する。
• 写像空間に対する $S(X)$ に関するスuspensionスペクトルとして、トムスペクトル $\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$ を定義し、トム構成を一般化する。
• $C_*\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$ が、$\mathcal{C}_k$-代数の圏におけるHochschildコホモロジー複体 $HC^*_{C_*\mathcal{C}_k}(C^*X)$ と自然に同値であることを証明する。
• 文献[9]の結果を用いて、$\mathcal{C}_k$-代数におけるHochschildコホモロジー複体が自然に $\mathcal{C}_{k+1}$-代数構造を持つことから、$\mathcal{C}_{k+1}$-代数構造を結論づける。
• ホモトピー圏における $\mathcal{C}_k$-代数のKoszul双対性理論を適用し、$C^*X$ と $C_*\Omega^kX$ がKoszul双対であることを関係づける。
• Eilenberg-Mooreスペクトル系列と配置空間モデルを用いて、$\mathcal{C}_k$-代数における非基点Hochschildコホモロジーがホモトピー的Koszul双対性に関して不変であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ChasとSullivanのストリングトポロジー作用は、2次元フレームドディスクから高次元の非フレームドリトルディスク操作 $\mathcal{C}_k$ へ、一般の有限次元CW複体上に一般化可能か？
• RQ2 $\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$ のチェイン複体は、任意の有限次元単体複体 $X$ に対して自然に $\mathcal{C}_{k+1}$-代数構造を持つか？
• RQ3 $C^*X$ の $\mathcal{C}_k$-代数の圏におけるHochschildコホモロジーが、$C_*\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$ の $\mathcal{C}_{k+1}$-代数構造を回復するか？
• RQ4 Kontsevichの予想、すなわち基点付き $\mathcal{C}_k$-代数におけるQuillenコホモロジーとHochschildコホモロジーのシフト同値性は成立するか？
• RQ5 $\mathcal{C}_k$ はシフトを除いて自己双対であるか？また、この双対性はHochschildコホモロジーを保存するか？

主な発見

• $C_*\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$ は任意の有限CW複体 $X$ および $k \geq 1$ に対して自然に $\mathcal{C}_{k+1}$-代数構造を持つ。これは2次元におけるBatalin-Vilkovisky構造を高次元に一般化する。
• $C_*\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)} \simeq HC^*_{C_*\mathcal{C}_k}(C^*X)$ なる自然なホモトピー同値が成立し、トムスペクトルのチェイン複体が $\mathcal{C}_k$-代数の圏における $C^*X$ のHochschildコホモロジー複体と同型であることを示す。
• $C^*X$ と基点付きループ空間のチェイン複体 $C_*\Omega^kX$ は、$\mathcal{C}_k$-代数のホモトピー圏においてKoszul双対である。これは $k=1$ の場合のCohenの予想を一般化する。
• Kontsevichの予想が証明された：基点付き $\mathcal{C}_k$-代数におけるQuillenコホモロジーは、Hochschildコホモロジーのシフトに同値であり、具体的には $\mathrm{Quillen}^i \simeq \mathrm{HH}^{i+k}$ が成り立つ。
• $\mathcal{C}_k$ はシフトを除いて自己双対であり、$\mathcal{C}_k$-代数におけるホモトピー的Koszul双対性を定義する自己双対性を有する。
• $\mathcal{C}_k$-代数における非基点Hochschildコホモロジーはホモトピー的Koszul双対性に関して不変であり、$HC^*_{C_*\mathcal{C}_k}(C^*X) \simeq HC^*_{C_*\mathcal{C}_k}(C_*\Omega^kX)$ が成り立つ。これは $k+1$-連結な複体に対して主要な推論を示す。