[論文レビュー] Hilbert schemes, wreath products, and the McKay correspondence

Weiqiang Wang|ArXiv.org|Dec 13, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、$\Gamma_n = \Gamma \sim S_n$ が $\mathbb{C}^{2n}$ に作用する際の等変K理論と、最小解消 $\widetilde{\mathbb{C}^2/\Gamma}$ 上の点のヒルベルトスキームのコホモロジーの間で、直接的な同型写像を確立し、2つのマケイ対応の実現の間の幾何的ブリッジを提供する。主な結果は、シュール基底を介したホップ代数、$\lambda$-環、ヘイゼンベルク代数表現の間の標準的同型であり、ヒルベルトスキームとワープド積構成の両方における長年の類似構造を解消する。

ABSTRACT

Various algebraic structures have recently appeared in a parallel way in the framework of Hilbert schemes of points on a surface and respectively in the framework of equivariant K-theory [N1,Gr,S2,W], but direct connections are yet to be clarified to explain such a coincidence. We provide several non-trivial steps toward establishing our main conjecture on the isomorphism between the Hilbert quotient of the affine space $\C^{2n}$ by the wreath product $\G ~ S_n$ and Hilbert schemes of points on the minimal resolution of a simple singularity $\C^2 /\G$. We discuss further various implications of our main conjecture. We obtain a key ingredient toward a direct isomorphism between two forms of McKay correspondence in terms of Hilbert schemes [N1, Gr, N2] and respectively of wreath products [FJW]. We in addition establish a direct identification of various algebraic structures appearing in two different setups of equivariant K-theory [S2, W].

研究の動機と目的

• ヒルベルトスキームとワープド積構成における長年の類似した代数的構造の謎を解明すること。
• ヒルベルト商 $\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$ とヒルベルトスキーム $\widetilde{\mathbb{C}^2/\Gamma}^{[n]}$ の間の直接的な幾何的リンクを確立すること。
• $\Gamma_n$-等変バンドル $S^X_\lambda$ と $S_n$-等変バンドル $S^Y_\lambda$ のシュール基底が、ホップ代数、$\lambda$-環、ヘイゼンベルク代数表現の同型を誘導することを証明すること。
• ワープド積表現環を用いてフレンケル＝カック＝セガルの頂点表現を幾何的に実現し、新たな形のマケイ対応を完成させること。

提案手法

• ヒルベルトスキームと対称積を結ぶ可換図式を用いて、$\widetilde{\mathbb{C}^2/\Gamma}^{[n]} \to \mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$ の半小規模なクレパント解消 $\tau_n$ を構成する。
• $\Gamma_{|\lambda_i|}$ からの誘導表現を用いて、$S^X_\lambda$ を $\Gamma_n$-等変ベクトルバンドルとして定義し、$R(\Gamma_n)$ のシュール基底を一般化する。
• 対称群からの誘導を用いて、$Y^n$ 上の $S_n$-等変バンドル $S^Y_\lambda$ を定義し、解消写像による $V_i$-表現の引き戻しを用いる。
• トム同型を用いて、$K^{\text{top}}_{\Gamma_n}(\mathbb{C}^{2n}) \otimes \mathbb{C}$ を表現環 $R(\Gamma_n) \otimes \mathbb{C}$ と同一視し、ヒルベルトスキームコホモロジーとの比較を可能にする。
• 標準写像 $\Theta$ を介して、$S^X_\lambda$ と $S^Y_\lambda$ のシュール基底を一致させ、それがホップ代数および $\lambda$-環の同型であることを証明する。
• $\Theta$ におけるアダムス作用、誘導および制限函手の整合性を検証し、ヘイゼンベルク代数作用が保存されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワープド積 $\Gamma_n = \Gamma \sim S_n$ が $\mathbb{C}^{2n}$ に作用する際の等変K理論と、最小解消 $\widetilde{\mathbb{C}^2/\Gamma}$ 上のヒルベルトスキームのコホモロジーとの間で、直接的な同型写像を確立できるか。
• RQ2 ホップ代数、$\lambda$-環、ヘイゼンベルク代数といった代数的構造が、$\bigoplus_n K^{\text{top}}_{\Gamma_n}(X^n) \otimes \mathbb{C}$ と $\bigoplus_n K_{S_n}(Y^n) \otimes \mathbb{C}$ の間で、幾何的対応のもとでどのように関係するか。
• RQ3 フレンケル＝ジン＝ワング構成における重み付き双線形形式の幾何的解釈は何か。また、ヒルベルトスキームとどのように関連するか。
• RQ4 解消 $\tau_n: \widetilde{\mathbb{C}^2/\Gamma}^{[n]} \to \mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$ は半小規模なクレパント解消であるか。また、両者の設定の間で標準的なリンクを提供するか。
• RQ5 フレンケル＝カック＝セガルの頂点表現は、ワープド積構成を用いて幾何的に実現可能か。これにより、新たな形のマケイ対応が完成するか。

主な発見

• $\Gamma_n$-等変バンドル $S^X_\lambda$ を $S_n$-等変バンドル $S^Y_\lambda$ に写す写像 $\Theta$ は、グレーディング付きベクトル空間の同型であり、シュール基底構造を保存する。
• $\Theta$ は両側の $\lambda$-環構造を尊重する。これは、対称冪の生成関数から導かれるアダムス作用の一致によって示される。
• 誘導、制限、アダムス作用の整合性のおかげで、$\bigoplus_n K^{\text{top}}_{\Gamma_n}(X^n) \otimes \mathbb{C}$ と $\bigoplus_n K_{S_n}(Y^n) \otimes \mathbb{C}$ 上のヘイゼンベルク代数作用が $\Theta$ で同型である。
• $\tau_n: \widetilde{\mathbb{C}^2/\Gamma}^{[n]} \to \mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$ は半小規模なクレパント解消であり、ワープド積とヒルベルトスキームの間の最初の直接的な幾何的リンクを提供する。
• $\bigoplus_n K^{\text{top}}_{\Gamma_n}(X^n) \otimes \mathbb{C}$ と $\bigoplus_n K_{S_n}(Y^n) \otimes \mathbb{C}$ のグレーディング次元が一致しており、ベクトル空間のレベルでの同型の整合性が確認される。
• 構成により、ワープド積の表現環を用いてフレンケル＝カック＝セガルの頂点表現が幾何的に実現され、有限群論的形のマケイ対応が完成する。