[論文レビュー] Hilfer-Katugampola fractional derivative

D. S. Oliveira, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 13被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、リーマン＝リウビル、カプト、ハダマール、ヒルファータイプなどの主な分数階微分の間を補間する統一的一般化であるヒルファ＝カツガンポラ分数階微分を導入する。非線形分数階初期値問題とボルテラ積分方程式との間の同等性を確立することで、固定点理論と逐次近似法を用いて解の存在と一意性を証明し、一般化されたミタグレフラー関数を用いて解析的解を表現する。

ABSTRACT

We propose a new fractional derivative, the Hilfer-Katugampola fractional derivative. Motivated by the Hilfer derivative this formulation interpolates the well-known fractional derivatives of Hilfer, Hilfer-Hadamard, Riemann-Liouville, Hadamard, Caputo, Caputo-Hadamard, Liouville, Weyl, generalized and Caputo-type. As an application, we consider a nonlinear fractional differential equation with an initial condition using this new formulation. We show that this equation is equivalent to a Volterra integral equation and demonstrate the existence and uniqueness of solution to the nonlinear initial value problem.

研究の動機と目的

• リーマン＝リウビル、カプト、ハダマール、ヒルファー、およびそれらの変種などの既知の分数階微分を一般化し、それらの間を補間する統一的分数階微分を構築すること。
• 新しい微分形式のもとで、初期条件付き非線形分数階微分方程式とボルテラ積分方程式との同等性を確立すること。
• 固定点理論を用いて、適切な関数空間における初期値問題の解の存在と一意性を証明すること。
• 逐次近似法を用いて、特定の分数階微分方程式の解析的解を導出すること。
• 既知の特殊ケース（例：リーマン＝リウビル、カプト、ハダマール）が、新しい微分の特別な極限として回復されることを示すこと。

提案手法

• ヒルファとヒルファ＝ハダマール微分の特徴を組み合わせた追加の補間パラメータβを有するカツガンポラ分数階微分の一般化として、ヒルファ＝カツガンポラ分数階微分を定義する。
• パラメータρを有する一般化された分数階積分作用素 $ {}^{ ho} ext{J}_{a^{+}}^{ ho} $ を用いて微分を定義し、その性質を分析する。
• 積分表現と反復代入を用いて、非線形分数階微分方程式とボルテラ積分方程式との同等性を確立する。
• 重み付き空間 $ C_{1- ho, ho}^{eta}[a,b] $ におけるバナッハ固定点定理を適用して、解の存在と一意性を証明する。
• 逐次近似法を用いて解を反復的に構成し、一般化されたミタグレフラー関数を含む級数表現に到達する。
• 最終的な解を一般化されたミタグレフラー関数 $ E_{ ho,1+rac{eta}{ ho},1+rac{eta-1}{ ho}} $ を用いて表現し、方程式の次数と初期条件から導かれるパラメータを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン＝リウビル、カプト、ハダマール、ヒルファー、およびその他の古典的分数階微分を統一的かつ補間的に扱える単一の分数階微分を定式化できるか？
• RQ2 ヒルファ＝カツガンポラ分数階微分を含む非線形初期値問題は、ボルテラ積分方程式と同等か？
• RQ3 初期値問題は、明確に定義された関数空間において一意な解をもつか？
• RQ4 新しい微分を用いて、特定の分数階微分方程式の解析的解を導出できるか？
• RQ5 既知の分数階微分（例：リーマン＝リウビル、カプト、ハダマール）は、ヒルファ＝カツガンポラ微分の特別な極限として回復できるか？

主な発見

• ヒルファ＝カツガンポラ分数階微分は、ヒルファおよびカツガンポラ微分を一般化し、リーマン＝リウビル、カプト、ハダマール、ヒルファ＝ハダマール、およびその他の分数階微分を特別なケースとして統合する。
• 初期条件付き非線形分数階微分方程式はボルテラ積分方程式と同等であり、解析に積分方程式技法を適用可能である。
• 空間 $ C_{1- ho, ho}^{eta}[a,b] $ において初期値問題の解が一意に存在し、バナッハ固定点定理により証明された。
• 逐次近似法を用いて解が反復的に構成され、一般化されたミタグレフラー関数 $ E_{ ho,1+rac{eta}{ ho},1+rac{eta-1}{ ho}} $ を含む閉形式の表現に収束する。
• 解の式は既知の結果を回復する：ρ→1、β=0 のときリーマン＝リウビルの場合に還元され、ρ→1、β=1 のときカプトの場合と一致する。ρ→0⁺、β=0 のときハダマールの場合に対応する。
• 逐次近似法により収束する級数解が得られ、係数はガンマ関数の比を含むことから、方程式の解析的可解性が確認される。