[論文レビュー] Hitting properties and non-uniqueness for SDE driven by stable processes

Julien Berestycki, Leif Doering+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ホルダー連続なドリフトおよびノイズ係数を有する、スペクトラルに正の$α$-安定なレヴィ過程によって駆動される自己相似性を有するSDEのクラスについて、経路的一意性および到達特性を調査する。ランベールの変換およびパワー変換を用いて、確実に有限時間内に消滅するための必要十分条件を確立し、解がゼロに到達した際に経路的一意性が成立しないことを示している。ただし、ゼロにほとんど至る時間が存在しない制限付きの解のクラスにおいては、一意性が保たれる。

ABSTRACT

We study a class of self-similar jump type SDEs driven by Hölder-continuous drift and noise coefficients. Using the Lamperti transformation for positive self-similar Markov processes we obtain a necessary and sufficient condition for almost sure extinction in finite time. We then show that for certain parameters pathwise uniqueness holds in a restricted sense, namely among solutions spending a Lebesgue-negligible amount of time at 0. A direct power transformation plays a key role.

研究の動機と目的

• $α$-安定レヴィ過程によって駆動されるジャンプ型SDEの到達特性および解の非一意性を、ホルダー連続な係数を用いて分析すること。
• 解が有限時間内に確実にゼロに到達する条件を特定すること、特に自己相似的ダイナミクスに注目すること。
• ゼロにおける退化（ノイズ係数が消滅し、ドリフトがリプシッツでない）の下での経路的一意性を調査すること。
• ゼロに到達した後、異なる解を構成することで、古典的経路的一意性の不成立を示す明示的解の構築。
• パrameterにCramér型条件を課した場合に、ゼロにおける一意な自己相似マルコフ拡張が存在することを確立すること。

提案手法

• SDEを正の自己相似マルコフ過程（pssMp）に変換するため、ランベールの変換を適用し、到達時間および自己相似性の解析を可能にする。
• パワー変換を用いて、元のSDEを、特定のラプラス指数（$\Gamma$-関数を含む）を持つレヴィ過程によって駆動される新たなSDEと関連付ける。
• ランベール変換を用いて、パrameter $\theta$ および $\Gamma$-関数を用いた、ゼロにおける確実な消滅のための必要十分条件を導出する。
• SDEの構造および自己相似性を用いて、ゼロにLebesgue可測集合でない時間しか存在しない解のクラスにおいて、経路的一意性を確立する。
• pssMp拡張に関するリーヴェロおよびフィッツシモンズの結果を活用し、非自明な解の存在を、レヴィ過程にCramér型条件が成り立つことと関連付ける。
• 弱収束およびフェラー連続性を用いて、Cramér条件が成立する場合、マルコフ族がゼロに連続的に拡張されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SDE (1.1) の解が確実に有限時間内にゼロに到達するためのパrameter $\theta$, $\alpha$, $\beta$, $\eta$ の条件は何か？
• RQ2 SDE (1.1) において、経路的一意性が失敗するのはいつか？また、複数の異なる強い解が存在可能な条件は何か？
• RQ3 ゼロにおける非自明な自己相似拡張が存在する正確な条件は何か？
• RQ4 Cramér型条件 $\theta > \Gamma(\alpha\beta)/\Gamma(\eta)$ は、ゼロに到達した後の非自明な解の存在とどのように関係するか？
• RQ5 プロセスがゼロに到達した場合、$x>0$ におけるマルコフ族 $({\mathbb{P}}^x)_{x>0}$ は $x=0$ に連続的に拡張可能か？

主な発見

• 確実な有限時間内消滅は、$0 \leq \theta < \Gamma(\alpha)$ である場合にかつその場合にのみ成立し、$\theta \geq \Gamma(\alpha)$ の場合には $T_0 = \infty$ が確実に成立する。
• 経路的一意性が古典的意味で失敗するのは $\beta > 1 - 1/\alpha$ のときであり、この場合、ゼロに到達した後、複数の異なる強い解を構成可能である。
• ゼロにおける非自明な自己相似拡張が存在するのは、$\theta > \Gamma(\alpha\beta)/\Gamma(\eta)$ のときであり、これはpssMp拡張におけるCramér型条件に一致する。
• パラメータ $\theta > \Gamma(\alpha\beta)/\Gamma(\eta)$ の下で、$x \geq 0$ における一意な自己相似拡張 $\bar{\mathbb{P}}^x$ は初期条件に関して弱連続である。
• SDE (1.1) の解は、パラメータ条件 $\eta = 1 - \alpha(1 - \beta)$ を満たす場合に自己相似的である。この条件により、ランベール変換の適用が可能になる。
• ゼロにおける拡張の構成は、パワー変換およびSDEの構造を用いて明示的に行われ、弱収束に依存するのを避ける。