[論文レビュー] HNN extensions and unique group measure space decomposition of II_1 factors

Pierre Fima, Stefaan Vaes|arXiv (Cornell University)|May 27, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、相対的性質(T)を有する群、または2つの可換で非アーベルな部分群をもつ群のHNN拡大から得られるII₁因子における、群測度空間Cartan項代数の一意性を、ややきつい交差条件のもとで確立する。さらに、このようなHNN拡大における一般化されたベルヌーイおよびガウス型作用について、安定なW*-超剛性を示し、von Neumann代数が群作用を共役およびスカラーコサイクルの意味で完全に回復できることを示している。

ABSTRACT

We prove that for a fairly large family of HNN extensions Γ, the group measure space II_1 factor L^\infty(X) times Γgiven by an arbitrary free ergodic probability measure preserving action of Γ, has a unique group measure space Cartan subalgebra up to unitary conjugacy. We deduce from this new examples of W^*-superrigid group actions, i.e. where the II_1 factor L^\infty(X) times Γentirely remembers the group action that it was constructed from.

研究の動機と目的

• 特定の剛性を持つ群のHNN拡大に関連するII₁因子における、群測度空間Cartan項代数の一意性を確立すること。
• アーベル自由積を超えてHNN拡大を含む、W*-超剛性群作用のクラスを拡張すること。
• 変形／剛性技術を用いて、クローズド積von Neumann代数における剛性を系統的に検出する方法を提供すること。
• HNN拡大とアーベル自由積の両方において、群が木上の作用を通じてCartan項代数の一意性とW*-超剛性を統一的に扱うこと。
• このようなHNN拡大における可測1-コサイクルが、群準同型とコホモロジーライトに同値であることを確認し、超剛性結果を可能にする。

提案手法

• [PV09] の変形／剛性戦略を、HNN拡大に適応し、トレース付きvon Neumann代数における長さの変形と拡大技術を用いる。
• トレース付きvon Neumann代数におけるHNN拡大を用いて、II₁因子上の群作用の変形を構築し、分析する。
• 基本群Hに相対的性質(T)を有する部分群、または可換で非アーベルな部分群が存在する場合、Cartan項代数の一意性を適用する。
• ∩g_iΣg_i⁻¹ が有限であるという条件を用いて、作用における十分な剛性とスペクトルギャップの制御を保証する。
• [Po05, Po06a] を用いて、H上の1-コサイクルが群準同型とコホモロジーライトに同値であることを示し、安定生成子を用いてこれを全HNN群へ拡張する。
• [PV09, Lemma 6.5] を適用し、Cartan項代数の一意性と1-コサイクルの消滅から、安定なW*-超剛性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HNN拡大 Γ = HNN(H,Σ,θ) に対して、II₁因子 L∞(X)⋊Γ がユニタリ共役を除いて一意な群測度空間Cartan項代数をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 相対的性質(T)を有する群、または2つの可換で非アーベルな部分群をもつ群のHNN拡大は、W*-超剛性作用をもたらすか？
• RQ3 交差 ∩g_iΣg_i⁻¹ が有限であれば、HNN拡大におけるCartan項代数の一意性に十分な剛性が保証されるか？
• RQ4 HNN拡大は、変形／剛性技術を通じて、その基本群からどの程度超剛性性質を継承するか？
• RQ5 このようなHNN拡大の一般化されたベルヌーイおよびガウス型作用は、安定にW*-超剛性をもつか？

主な発見

• Hが非アーベルな部分群を相対的性質(T)で持ち、かつ ∩g_iΣg_i⁻¹ が有限であるHNN拡大 Γ = HNN(H,Σ,θ) に対して、II₁因子 L∞(X)⋊Γ はユニタリ共役を除いて一意な群測度空間Cartan項代数をもつ。
• このようなHNN拡大の自由でエルゴディックなp.m.p.作用に対して、Cartan項代数の一意性は、作用の具体的な内容に依存しない。
• H₀とΣの安定化子が添え字集合上で無限に作用する場合、Γの一般化されたベルヌーイ作用に対して安定なW*-超剛性が確立される。ただし、H₀は相対的性質(T)を有するものとする。
• H₀とΣの直交表現の制限が非ゼロの有限次元部分表現をもたない場合、ガウス型作用に対しても安定なW*-超剛性が成り立つ。
• H₀とH₁がHに可換で非アーベルな部分群であり、H₀が正規である場合、H₁ ∩ Stab(i) がすべてのiに対してアーベルであるような一般化されたベルヌーイ作用に対し、安定なW*-超剛性が成り立つ。
• HNN群上の可測1-コサイクルが（コホモロジーライトに）消えることは、基本群Hに還元し、安定生成子の作用を用いて結果を全体に拡張することで確立された。