[論文レビュー] Hochschild Cohomology, Modular Tensor Categories, and Mapping Class Groups

Simon Lentner, Svea Nora Mierach+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 50被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、導来ファンクター構成を用いて、有限のモジュラーtensorカテゴリのHochschildコホモロジーに、写像類群の射影的作用を確立する。単位対象の射影的分解を補助的境界成分に挿入することにより、そのコホモロジーが写像類群作用を持つコチェーン複体を構成し、トーラスおよび因子的リボンホップ代数の既知の結果を特別な場合として回復する。

ABSTRACT

Given a finite modular tensor category, we associate with each compact surface with boundary a cochain complex in such a way that the mapping class group of the surface acts projectively on its cohomology groups. In degree zero, this action coincides with the known projective action of the mapping class group on the space of chiral conformal blocks. In the case that the surface is a torus and the category is the representation category of a factorizable ribbon Hopf algebra, we recover our previous result on the projective action of the modular group on the Hochschild cohomology groups of the Hopf algebra.

研究の動機と目的

• 非半単純な設定における、チャーラル conformalブロックへの写像類群の射影的作用を導来コホモロジー群へ一般化すること。
• 因子的リボンホップ代数のHochschildコホモロジーに関する以前の結果を、一般の有限モジュラーtensorカテゴリへ拡張すること。
• 導来ブロック空間を用いた写像類群表現を体系的に構成するフレームワークを提供すること。
• 基本群作用における共役のあいまいさを回避するため、基点を固定することで、トポロジカル量子場理論における標準的手法を改善すること。

提案手法

• 補助的境界成分に単位対象の射影的分解を挿入し、ブロック空間の導来ファンクターを用いてコチェーン複体を構成する。
• キャッピング準同型を用いて補助的境界を閉じ、そのコホモロジーがこの操作に対して不変であることを示す。
• Birman完全系列を用いて、補助的境界を含む・含まない両方の曲面の写像類群を関連付ける。
• ブロック空間のファンクター性を活用し、複体のコホモロジーへの写像類群の射影的作用を誘導する。
• 反対称子を用いたチェーン写像を用いて、異なる双加群構造を持つHochschildコホモロジー群の同型を確立する。
• 同型がモジュラー群作用に関して不変であることを証明し、射影的表現との整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非半単純なカテゴリにおける、チャーラル conformalブロックへの写像類群の射影的作用を、高次のコホモロジー群へどのように拡張できるか？
• RQ2 モジュラーtensorカテゴリにおけるブロック空間の導来ファンクターが、写像類群の一貫した射影的作用を支持できるか？
• RQ3 因子的リボンホップ代数のHochschildコホモロジーと、その表現カテゴリの導来ブロック空間との関係は何か？
• RQ4 補助的境界成分に射影的分解を挿入することで、コホモロジーにおける写像類群作用がどのように保存されるか？
• RQ5 HH^m(A, A) と HH^m(A, Lε) におけるモジュラー群の射影的表現は同型であるか？もし同型であれば、その同型はどのように実現されるか？

主な発見

• 導来ブロック空間の構成によるコホモロジー群は、写像類群の射影的作用を持つ。これは、次数0における既知のチャーラル conformalブロックへの作用を一般化する。
• トーラスおよび因子的リボンホップ代数の表現カテゴリにおいて、導来ブロック空間はHochschildコホモロジー群を回復し、写像類群作用はHH^m(A, A) における射影的SL(2,Z)-作用と一致する。
• 反対称子を用いた双加群のねじれを介してHH^m(A, Lε) とHH^m(A, A) の同型が確立され、この同型はモジュラー群作用に関して不変である。
• 真空の伝搬技術により導入された補助的境界成分は、コホモロジーにおいて一貫してキャッピング可能であり、写像類群作用の不変性を保証する。
• 基本群における基点を固定することで、共役のあいまいさを回避し、ホモトピー類への作用をより明確に可能にする。
• HH^m(A, Lε) における射影的表現は、HH^m(A, A) におけるものと同型であり、[LMSS1]における以前の結果と整合性が確認された。