[論文レビュー] Centers of KLR algebras and cohomology rings of quiver varieties

Ben Webster|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、単純ラクーン型 Kac-Moody代数に対するクイバー多様体のコホロジー環とサイクロトミック KLR代数の中心の間の自然な幾何的同型写像を確立する。現在代数 $\mathfrak{g}[t]$ のカテゴリカル作用と量子化との整合性を用いて、ADE 型では写像が同型であり、一般には単射であることを証明し、キルマンの全射性およびカテゴライズド表現論への応用を含む。

ABSTRACT

Attached to a weight space in an integrable highest weight representation of a simply-laced Kac-Moody algebra $\mathfrak{g}$, there are two natural commutative algebras: the cohomology ring of a quiver variety and the center of a cyclotomic KLR algebra. In this note, we describe a natural geometric map between these algebras in terms of quantum coherent sheaves on quiver varieties. The cohomology ring of an algebraic symplectic variety can be interpreted as the Hochschild cohomology of a quantization of this variety in the sense of Bezrukavnikov and Kaledin. On the other hand, cyclotomic KLR algebras appear as Ext-algebras of certain particular sheaves, and thus its center receives a canonical map from the Hochschild cohomology of the category. We show that this map is an isomorphism in finite type, and injective in general. We further note that the Kirwan surjectivity theorem for quivers of finite type is an easy corollary of these results. The most important property of this map is its compatibility with actions of the current algebra on both the cohomology of quiver varieties and on the Hochschild cohomology of any category with a categorical action of $\mathfrak{g}$. The structure of these current algebra actions allow us to show the desired results.

研究の動機と目的

• クイバー多様体のコホロジー環とサイクロトミック KLR代数の中心の間の自然な幾何的写像を確立すること。
• この写像が有限 ADE 型で同型であり、一般に単純ラクーン型で単射であることを示すこと。
• 両代数における現在代数 $\mathfrak{g}[t]$-作用との整合性を示すこと。
• この整合性を用いて、有限 ADE 型のクイバー多様体におけるキルマンの全射性を系として証明すること。
• 有限型およびアフィン型 ADE 型における $G_w$-および $G_w \times \mathbb{C}^*$-等化コホロジーへの拡張を含む、等化設定への応用。

提案手法

• クイバー多様体上の量子化された層の Hochschild コホロジーにおける引き戻しを用いて、写像 $\varphi: H^*(M^\lambda_\mu) \to Z(R^\lambda_\mu)$ を構成する。
• 特に構造層の整数周期量子化を含む、シンプレクティック多様体の量子化理論を用いる。
• 量子化代数 $A^\mu$ のモジュールの導来カテゴリに、$\mathfrak{g}$-カテゴリカル作用を適用し、$R^\lambda_\mu$-dg-mod と同値な部分カテゴリ $C$ を特定する。
• キルマン関手を用いて、微局所 $D$-加群の引き戻しを通じて、クイバー多様体のコホロジーと KLR代数の中心を関連付ける。
• Varagnolo らのコホロジー上の作用と、Beliakova, Habiro, Lauda, Shan, Vasserot の Hochschild コホロジー上の作用を用いて、写像 $\varphi$ が両側の現在代数 $\mathfrak{g}[t]$-作用と可換であることを示す。
• 両側が $\mathfrak{g}[t]$ の双対ウェイル加群であるという事実を用いて、ADE 型では $\varphi$ が同型であることを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純ラクーン型 Kac-Moody代数に対して、クイバー多様体のコホロジー環とサイクロトミック KLR代数の中心の間に自然な幾何的同型写像が存在するか？
• RQ2 現在代数 $\mathfrak{g}[t]$ は、クイバー多様体のコホロジーおよび KLR代数の中心の両方上でどのように作用するか。また、この作用は提示された写像と整合的か？
• RQ3 この幾何的写像から、クイバー多様体におけるキルマンの全射性が系として導かれるか？
• RQ4 この同型写像は、有限型およびアフィン型 ADE 型の等化コホロジーへ拡張可能か？
• RQ5 この写像は、クイバー多様体上の層の圏の他の生成元へ一般化可能か？

主な発見

• 代数的同型写像 $\varphi: H^*(M^\lambda_\mu) \to Z(R^\lambda_\mu)$ が $\mathfrak{g}$ が ADE 型であるとき成立する。
• 一般に単純ラクーン型では写像 $\varphi$ は単射であるが、必ずしも同型ではない。
• 写像 $\varphi$ は、両側のコホロジーおよび Hochschild コホロジーにおける現在代数 $\mathfrak{g}[t]$-作用と整合的である。
• 有限 ADE 型のクイバー多様体におけるキルマンの全射性は、この同型写像の系として成立する。
• 有限 ADE 型の $G_w$-等化設定では、写像 $H^*_{G_w}(M^\lambda_\mu) \to Z(\widehat{R}^\lambda_\mu)$ は同型である。
• アフィン型 A において $G_w \times \mathbb{C}^*$-等化性を考慮すると、写像 $H^*_{G_w \times \mathbb{C}^*}(M^\lambda_\mu) \to Z(\widehat{R}^\lambda_\mu)$ は同型であり、変形パラメータは標準的バンドルのチャーン類と一致する。