[論文レビュー] Hochschild cohomology of group extensions of quantum complete intersections

Lauren Grimley|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、標数0の体上における量子完全交差 $Λ_{\mathbf{q}}^{(2,2,\dots,2)}$ の群拡張のHochschildコホモロジーのGerstenhaber代数構造——特にカップ積と順序付きリー括弧——を計算する。既存の結果を一般化し、特に群作用が自明な場合に、リー括弧および代数構造の明示的公式を提供する。これは2生成子の場合に既知の結果をn生成子の場合に拡張するものである。

ABSTRACT

We formulate the Gerstenhaber algebra structure of Hochschild cohomology of finite group extensions of some quantum complete intersections. When the group is trivial, this work characterizes the graded Lie brackets on Hochschild cohomology of these quantum complete intersections, previously only known for a few cases. As an example, we compute the algebra structure for two generator quantum complete intersections extended by select groups.

研究の動機と目的

• 有限群拡張の量子完全交差 $Λ_{\mathbf{q}}^{(2,2,\dots,2)}$ のHochschildコホモロジーのGerstenhaber代数構造を特徴付ける。
• 2生成子の量子完全交差に対する既存の順序付きリー括弧構造の結果を、一般のn生成子の場合に拡張する。
• 量子係数および群作用を用いて、カップ積および順序付きリー括弧の明示的公式を提供する。
• 特に代数がKoszulである場合に、対角的群作用の下でのコホモロジー構造を分析する。
• 既知の文献例（特に標数0の場合）と比較し、それらを群拡張に一般化する。

提案手法

• BerghとOppermannのねじれテンソル積構成を用いて、量子完全交差の群拡張をモデル化する。
• 特徴的0の体上で有効な、Wambstの方法を用いてHochschildコホモロジーを計算する。この方法は収縮ホモトピーを用いる。
• バー複体およびその余乗法を用いてカップ積とGerstenhaber括弧を定義する。
• NegronとWitherspoonの代替的括弧記述を適応し、Koszul代数に適している。
• 整数および群元でインデックス付けられた基底要素の直和としてコホモロジーを計算し、偶奇および量子係数に基づく条件を課す。
• 群作用を用いて基底要素をフィルター化・分類し、G-不変量を取ることでスケイ・群代数のコホモロジーを得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群拡張の量子完全交差 $Λ_{\mathbf{q}}^{(2,2,\dots,2)}$ のHochschildコホモロジーにおける順序付きリー括弧はどのように振る舞うか？
• RQ2 群が自明な場合、これらの拡張のHochschildコホモロジーにおける明示的代数的構造（カップ積および括弧）は何か？
• RQ3 量子係数 $\mathbf{q}$ および群作用はコホモロジー構造にどのように影響するか？
• RQ4 n生成子の量子完全交差に群拡張を施した場合、Gerstenhaber代数構造を完全に記述できるか？
• RQ5 既知の文献例（特に $q=1$ の場合：切断多項式環）と比較すると、結果はどうなるか？

主な発見

• 自明な群の場合、本稿は $Λ_{\mathbf{q}}^{(2,2,\dots,2)}$ のHochschildコホモロジーにおける順序付きリー括弧を完全に特徴づけ、[3, 5, 20]の結果を拡張する。
• $Λ_{\mathbf{q}}^{(2,2)}\rtimes G$ のHochschildコホモロジーは、インデックスに偶奇および群作用に基づく条件を課した基底要素 $(x_i \otimes g^i)\epsilon_{\gamma}^*$ の直和として計算される。
• $q=1$ の場合、コホモロジー構造は切断スケイ多項式環のそれへ還元され、[5, 節3.5]および[10, 節5.6]の既知の計算と一致する。
• リー括弧はNegronとWitherspoonの代替的記述を用いて明示的に計算されており、これはKoszul代数に有効である。
• コホモロジーは量子係数および群作用に強く依存しており、$q$ が単位根である場合とそうでない場合で異なる構造が生じる。
• $HH^*(\Lambda_{\mathbf{q}}^{(2,2)}\rtimes G)$ のベクトル空間分解は、G-不変基底要素を用いて完全に記述され、$t, t' \in \mathbb{N}$ および群インデックスを用いた明示的インデックス付けがなされている。