[論文レビュー] On blocks of defect two and one simple module, and Lie algebra structure of $HH^1$

David J. Benson, Radha Kessar+1 more|City Research Online (City University London)|Apr 15, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、奇数の特異性を持つ体上の量子完全交差の第一ホッフシュィルドコhomology $HH^1$ のリー代数構造を計算し、このような代数が可解的であり、導来部分代数が冪零的で、余根基の次元が $2e$ であることを証明する。その結果、分岐体の仮定の下で、位数 $p^2$ のデフレクト群の部分代数で単一の単純モジュールを持つ有限群代数のブロックについて、$J(B)/J(B)^2$ の次元に対する上界 $2ackslashsqrt{I}$ が確立される。

ABSTRACT

Let $k$ be a field of odd prime characteristic $p$. We calculate the Lie algebra structure of the first Hochschild cohomology of a class of quantum complete intersections over $k$. As a consequence, we prove that if $B$ is a defect $2$-block of a finite group algebra $kG$ whose Brauer correspondent $C$ has a unique isomorphism class of simple modules, then a basic algebra of $B$ is a local algebra which can be generated by at most $2\sqrt I$ elements, where $I$ is the inertial index of $B$, and where we assume that $k$ is a splitting field for $B$ and $C$.

研究の動機と目的

• 奇数の特異性を持つ体 $k$ 上の量子完全交差代数 $A$ に対して、$HH^1(A)$ のリー代数構造を特定すること。
• $HH^1(A)$ の根基を $Z(A)$-加群として用いることにより、対称的で分解可能な代数のクイバーにおけるループ数の上限を確立すること。
• これらの結果をモジュラー表現論に応用し、特に位数 $p^2$ のデフレクト群と単一の単純モジュールを持つ有限群代数のブロックに適用すること。
• 基本代数の最大の ${\mathcal{O}}$-自由可換商が対称的であるかどうかを検討し、ネーター的ブロックの特徴付けに対する反例を提供すること。

提案手法

• $A = k\langle x,y \mid x^p = y^p = 0, yx = qxy\rangle$ に対して、$q$ を $p-1$ を割り切る $e \geq 2$ の位数の単位根とするとき、$HH^1(A)$ をリー代数として計算すること。
• $\mathcal{L}' = [\mathcal{L}, \mathcal{L}]$ の導来リー部分代数を分析し、それが冪零的で $p$-トロナル的であり、$({\mathcal{L}}')^{[p]} = \{0\}$ であることを示すこと。
• $\mathcal{L}$ の根基を $Z(A)$-加群として用い、関連する対称的代数 $B$ の $J(B)/J(B)^2$ の次元を上界づけること。
• モルタ型の安定同値を用いて、$A$ からの境界を有限群代数のブロック $B$ に移動させること。
• $A$ の $p$-進被覆 $\hat{A}$ の最大の ${\mathcal{O}}$-自由可換商を構成し、それが対称的でないことを示すこと。
• $\hat{A}$ 及びその交換子イデアルの ${\mathcal{O}}$-構造を記述するために、チェビシェフ多項式 $f_n(u)$ を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子完全交差 $A$ に対して、$p$-冪関係と $q$-交換関係を満たすとき、$HH^1(A)$ のリー代数構造は何か？
• RQ2 $HH^1(A)$ の根基が $Z(A)$-加群としての性質は、対称的で分解可能な代数のクイバー構造にどのような制約を与えるか？
• RQ3 $HH^1$ 及びその根基を用いて、対称的で分解可能な代数のクイバーにおけるループ数を上界づけられるか？
• RQ4 位数 $p^2$ のデフレクト群と単一の単純モジュールを持つ有限群代数のブロック $B$ に対して、$J(B)/J(B)^2$ の次元は何か？
• RQ5 非ネーター的ブロックの基本代数の最大の ${\mathcal{O}}$-自由可換商は対称的か？

主な発見

• $HH^1(A)$ の次元は $2(p + ((p-1)/e)^2)$ であり、$e$ は $k^\times$ 内での $q$ の位数である。
• $HH^1(A)$ の中心は自明である：$Z(\mathcal{L}) = \{0\}$。
• 2次元の最大のトロナル部分代数 $\mathcal{H}$ が存在し、$\mathcal{L} = \mathcal{H} \oplus \mathcal{L}'$ と分解され、$\mathcal{L}'$ は冪零的である。
• $\mathcal{L}'$ がアーベルであることは $e = p-1$ と同値であり、$\dim_k(Z(\mathcal{L}')) = 2e + 2$ である。
• $\mathrm{soc}_{Z(A)}(\mathcal{L})$ は次元 $2e$ であり、$Z(\mathcal{L}')$ に含まれる。
• $\mathcal{L}/\mathcal{L}'$ の次元は 2 であり、$J(Z(A))\mathcal{L} = \mathcal{L}'$ である。