[論文レビュー] The Cup Product on Hochschild Cohomology for Localizations of Filtered Koszul Algebras

Cris Negron|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、フィルター付きコシュール代数のホッホシュילדコホモロジー上の$A_\infty$構造—特にカップ積—を計算する小さな微分付き可換代数（dg代数）を構成する。さらに、このような代数のオーレ局域化のホッホシュルドコホモロジーが、このdg代数の局域化を通じて得られることを示し、特にハイゼンベルクリー代数の普遍包あらわし代数に対して明示的な計算が可能であることを示している。

ABSTRACT

To any filtered algebra $A$ with Koszul associated graded algebra we associate a small dg algebra which calculates the $A_\infty$ structure on the Hochschild cohomology of $A$. In particular, it calculates the cup product on Hochschild cohomology. This dg algebra is, as an algebra, simply the tensor product of $A$ and the Koszul dual of its associated graded algebra. We then show that the Hochschild cohomology algebra of any Ore localization of $A$ can be calculated by a localization of the dg algebra associated to $A$. As an application we directly calculate the Hochschild cohomology algebra of the universal enveloping algebra of the Heisenberg Lie algebra.

研究の動機と目的

• フィルター付きコシュール代数のホッホシュルドコホモロジー上の$A_\infty$構造を捉える、計算可能なdg代数モデルの開発。
• このdg代数構成を用いて、ホッホシュルドコホモロジーにおけるカップ積を体系的に計算する方法の提供。
• この構成されたdg代数の局域化を通じて、このような代数のオーレ局域化への計算の拡張。
• ハイゼンベルクリー代数の普遍包あらわし代数のホッホシュルドコホモロジー代数を、全体系的に計算するためのフレームワークの応用。

提案手法

• フィルター付き代数$A$とその関連する可換代数のコシュール双対とのテンソル積としてdg代数を構成する。
• このテンソル積に、ホッホシュルドコホモロジー上の$A_\infty$構造を符号化する微分を導入する。
• 得られたdg代数を用いて、dg代数のコホモロジーにおける標準的なカップ積を通じて、ホッホシュルドコホモロジーにおけるカップ積を計算する。
• 任意のオーレ局域化$S^{-1}A$に対して、ホッホシュルドコホモロジー代数が、構成されたdg代数の局域化バージョンのコホモロジーと同型であることを示す。
• フィルター付きおよびコシュール設定における局域化ファンクターと、dg代数構成の整合性を活用する。
• ハイゼンベルクリー代数の普遍包あらわし代数にこのフレームワークを適用し、そのホッホシュルドコホモロジー代数を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィルター付きコシュール代数のホッホシュルドコホモロジー上の$A_\infty$構造、特にカップ積は、どのように計算可能か？
• RQ2 フィルター付きコシュール代数とそのオーレ局域化とのホッホシュルドコホモロジーの関係は何か？
• RQ3 カップ積構造をホッホシュルドコホモロジー上で計算できる、小さな計算可能なdg代数モデルを構成できるか？
• RQ4 dg代数モデルは局域化に対してどのように振る舞い、局域化された代数のコホモロジーを計算するために局域化可能か？
• RQ5 ハイゼンベルクリー代数の普遍包あらわし代数の明示的なホッホシュルドコホモロジー代数は何か？

主な発見

• フィルター付きコシュール代数の任意のオーレ局域化のホッホシュルドコホモロジー代数は、構成されたdg代数の局域化バージョンのコホモロジーと同型である。
• ホッホシュルドコホモロジー上のカップ積は、dg代数のコホモロジーにおける標準的なカップ積を通じて計算され、このdg代数は$A$とその関連可換代数のコシュール双対とのテンソル積として構成される。
• dg代数モデルは小さく計算可能であり、標準的手法が失敗する場合でも明示的な計算を可能にする。
• この構成は局域化と整合的であり、$A$から$S^{-1}A$へのコホモロジー的データの転送を可能にする。
• この方法により、ハイゼンベルクリー代数の普遍包あらわし代数のホッホシュルドコホモロジー代数が明示的に計算された。