[論文レビュー] Hodge cohomology on blow-ups along subvarieties

Sheng Rao, Song Yang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、任意の特徴を持つ代数閉体上の滑らかで固有な多様体上の局所自由な層のホッジコホモロジーについて、爆発の公式を確立する。相対ホッジ層を導入することで、爆発におけるコホモロジー的性質の分析が可能となり、爆発におけるホッジコホモロジーの明示的同型が得られる。主な結果は、正の特徴におけるホッジ・コスタント・ローゼンバーグ（Hochschild–Kostant–Rosenberg）スペクトル系列のE2-退化の爆発不変性を示すものである。

ABSTRACT

We establish a blow-up formula for Hodge cohomology of locally free sheaves on smooth proper varieties over an algebraically closed field of positive characteristic. For this, we introduce a notion of relative Hodge sheaves and study their behavior under blow-ups along smooth centers. In particular, as an application, we study the blow-up invariance of the $E_2$-degeneracy of the Hochschild--Kostant--Rosenberg spectral sequence for smooth proper varieties.

研究の動機と目的

• 正の特徴における、捩れたホッジ–ド・ラームスペクトル系列のE1-退化の爆発不変性を調査する。
• 正の特徴におけるドルベール解体の欠如に対処するため、相対ホッジ層を導入する。
• 任意の特徴を持つ代数閉体上での滑らかで固有な多様体上の局所自由層のホッジコホモロジーについて、爆発公式を確立する。
• この公式を用いて、爆発におけるホッジ・コスタント・ローゼンバーグ（Hochschild–Kostant–Rosenberg）スペクトル系列のE2-退化を研究する。
• 弱HKR定理が爆発および被約変換において保存される条件を特定する。

提案手法

• 滑らかな閉部分多様体 $j: Y \hookrightarrow X$ に対して、$p$-番目の相対ホッジ層 $K^p_Y$ を $\ker(\Omega^p_X \to j_*\Omega^p_Y)$ として定義する。
• 滑らかな中心に沿った爆発における相対ホッジ層の挙動を分析し、特に例外的除集合に注目する。
• ホッジコホモロジーの爆発公式を証明する：$H^q(\tilde{X}, \Omega^p_{\tilde{X}} \otimes \pi^*V) \cong H^q(X, \Omega^p_X \otimes V) \oplus \bigoplus_{i=1}^{c-1} H^{q-i}(Z, \Omega^{p-i}_Z \otimes \iota^*V)$。
• 同型 $\pi^*: H^q(X, K^p_Z \otimes V) \xrightarrow{\sim} H^q(\tilde{X}, K^p_E \otimes \pi^*V)$ を用いて、相対ホッジ層のコホモロジーを関連付ける。
• オルロフの爆発公式とクズネツォフのホッジホモロジーの加法性を用いて、$\tilde{X}$ のホッジホモロジーを $X$ と $Z$ のものに関連付ける。
• 爆発公式とホッジホモロジーの計算を組み合わせることで、HKRスペクトル系列のE2-退化を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特徴における、捩れたホッジ–ド・ラームスペクトル系列のE1-退化は、爆発によって不変であるか？
• RQ2 ドルベールコホモロジーに依存せずに、正の特徴におけるホッジコホモロジーの爆発公式を確立できるか？
• RQ3 正の特徴における滑らかで固有な多様体の爆発において、HKRスペクトル系列のE2-退化は保存されるか？
• RQ4 弱HKR定理が被約不変量であるための条件は何か？
• RQ5 爆発のホッジホモロジーは、元の多様体および中心多様体のホッジホモロジーとどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、ホッジコホモロジーの爆発公式を確立した：任意の $X$ 上の局所自由層 $V$ に対して、$H^q(\tilde{X}, \Omega^p_{\tilde{X}} \otimes \pi^*V) \cong H^q(X, \Omega^p_X \otimes V) \oplus \bigoplus_{i=1}^{c-1} H^{q-i}(Z, \Omega^{p-i}_Z \otimes \iota^*V)$ が成り立つ。
• 引き戻しは同型 $\pi^*: H^q(X, K^p_Z \otimes V) \xrightarrow{\sim} H^q(\tilde{X}, K^p_E \otimes \pi^*V)$ を誘導する。ここで $K^p_Z$ は相対ホッジ層である。
• 正の特徴を持つ代数閉体上での滑らかで固有な多様体に対して、HKRスペクトル系列のE2-退化の爆発不変性が成り立つ。
• 条件 $\dim Z \leq \operatorname{char}(k) < \dim X$ の下で、弱HKR定理は $\tilde{X}$ で成り立つための必要十分条件は、$X$ および $Z$ で成り立つことである。
• 爆発のホッジホモロジーは、$\dim HH^l(\tilde{X}) = \dim HH^l(X) + (c-1)\dim HH^l(Z)$ を満たす。ここで $c$ は中心の余次元である。
• 弱HKR定理は $\mathbb{P}(E)$ で成り立つための必要十分条件は、$X$ で成り立つことである。これにより、非退化なHKRスペクトル系列をもつ例のクラスが拡張される。