[論文レビュー] Hodge-Teichmueller planes and finiteness results for Teichmueller curves

Carlos Matheus, Alex Wright|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Teichmüller曲線の代数的原始的性質に関する新規概念「ホッジ＝ティヒミュラー平面」——SL(2,ℝ)作用のもとでホッジ分解を保つ第一コhomologyの特別な部分空間——を用いて、素数の genus 3以上における移動表面の最小ストラトムにおいて、代数的原始的Teichmüller曲線は有限個であることを確立する。主な結果は、このような曲線が genus ≥3 においていかなるストラトム内でも稠密でないことを示し、その閉包がまれな幾何的性質を有するアフィン不変部分多様体の有限個の和集合をなすことである。

ABSTRACT

We prove that there are only finitely many algebraically primitive Teichmueller curves in the minimal stratum in each prime genus at least 3. The proof is based on the study of certain special planes in the first cohomology of a translation surface which we call Hodge-Teichmueller planes. We also show that algebraically primitive Teichmueller curves are not dense in any connected component of any stratum in genus at least 3; the closure of the union of all such curves (in a fixed stratum) is equal to a finite union of affine invariant submanifolds with unlikely properties. Results of this type hold even without the assumption of algebraic primitivity. Combined with work of Nguyen and the second author, a corollary of our results is that there are at most finitely many non-arithmetic Teichmueller curves in H(4)^hyp.

研究の動機と目的

• 素数の genus 3以上における最小ストラトムにおいて、代数的原始的Teichmüller曲線の有限性を証明すること。
• 移動表面のストラトムにおける代数的原始的Teichmüller曲線の分布および稠密性を調査すること。
• Teichmüller曲線の幾何を制約するための道具として、ホッジ＝ティヒミュラー平面の理論を構築し応用すること。
• 固定されたストラトムにおけるすべての代数的原始的Teichmüller曲線の閉包が、例外的な性質を有するアフィン不変部分多様体の有限個の和集合であることを示すこと。
• 代数的原始的性質の範囲を超えて、genus ≥3 の一般ストラトムにおいても、有限性および非稠密性を確立すること。

提案手法

• Teichmüller曲線が SL(2,ℝ)作用のもとでホッジ型 (1,0) および (0,1) を保つ、第一実コhomologyの2次元部分空間としてのホッジ＝ティヒミュラー平面を導入する。
• trace fieldの次数 ≥k を持つTeichmüller曲線の稠密な集合を含む任意のアフィン不変部分多様体は、k個の直交するホッジ＝ティヒミュラー平面を持つ表面を含むことを証明する。
• Deligne-Mumfordコンパクト化における安定微分形式への移動表面の収束を用いて、ホッジ＝ティヒミュラー平面の極限挙動を分析する。
• 同調的平行移動およびコhomology上の制限写像を用いて、ノード付き曲線への退化の下でのホッジ＝ティヒミュラー平面の極限を追跡する。
• Möllerの固有形式および実乗法によるTeichmüller曲線の代数的幾何的特徴付けを活用し、有限性問題を代数的言語に再定式化する。
• ホッジ＝ティヒミュラー平面の理論をNguyenとWrightの結果と組み合わせ、H(4)hypにおける非算術的Teichmüller曲線の有限性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数の genus 3以上における最小ストラトムにおいて、代数的原始的Teichmüller曲線は有限個であるか？
• RQ2 genus ≥3 において、任意のストラトムの連結成分において、代数的原始的Teichmüller曲線の集合は稠密か？
• RQ3 素数の genus ≥3 における最小ストラトムの射影化された固有形式の集合は、可算集合と高々有限個の代数的曲線の和集合として記述可能か？
• RQ4 高次trace fieldを持つTeichmüller曲線を稠密に含むすべてのアフィン不変部分多様体は、必ず多くの直交するホッジ＝ティヒミュラー平面を持つ表面を含むか？
• RQ5 任意の genus ≥3 のストラトムにおいて、g個の直交するホッジ＝ティヒミュラー平面を持たない開集合を明示的に構成可能か？

主な発見

• 任意の素数の genus g ≥ 3 における最小ストラトムにおいて、代数的原始的Teichmüller曲線は有限個である。
• genus 3以上において、代数的原始的Teichmüller曲線はいかなるストラトムの連結成分においても稠密でない。
• 固定されたストラトムにおけるすべての代数的原始的Teichmüller曲線の和集合の閉包は、例外的な幾何的性質を有するアフィン不変部分多様体の有限個の和集合である。
• 素数の genus ≥3 における最小ストラトムの射影化された固有形式の集合は、可算集合と高々有限個の代数的曲線の和集合である。
• 主定理およびNguyenとWrightの先行研究を組み合わせることで、ストラトムH(4)hypにおける非算術的Teichmüller曲線は高々有限個であることが従う。
• 代数的原始的Teichmüller曲線の稠密な集合を含むアフィン不変部分多様体に属するすべての移動表面は、genus g において g 個の直交するホッジ＝ティヒミュラー平面を持つ必要がある。