[論文レビュー] Holomorphic N=1 Special Geometry of Open--Closed Type II Strings

W. Lerche, Peter Mayr+1 more|ArXiv.org|Jul 30, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 25被引用数 62

ひとこと要約

この論文は、フラックスとD-braneを伴うCalabi-Yau三foldへのtype II弦理論の compactification におけるN=2特殊幾何学の拡張として、正則N=1特殊幾何学を導入する。N=2のprepotentialに類似した正則ポテンシャルを用いて、N=1のスーパーポテンシャルおよびその導関数が決定される幾何的枠組みを確立し、相対コホロロジー H^3(X,Y) 上のPicard-Fuchs系を用いてインスタントン補正付きスーパーポテンシャルをミラー対称性に類似した手法で計算可能にする。

ABSTRACT

We outline a general geometric structure that underlies the N=1 superpotentials of a certain class of flux and brane configurations in type II string compactifications on Calabi-Yau threefolds. This ``holomorphic N=1 special geometry'' is in many respects comparable to, and in a sense an extension of, the familiar special geometry in N=2 supersymmetric type II string compactifications. It puts the computation of the instanton-corrected superpotential W of the four-dimensional N=1 string effective action on a very similar footing as the familiar computation of the N=2 prepotential F via mirror symmetry. In this note we present some of the main ideas and results, while more details as well as some explicit computations will appear in a companion paper

研究の動機と目的

• フラックスとD-braneを伴うtype II compactificationにおけるN=1スーパーポテンシャルの幾何的構造を構築すること。
• N=2理論で知られていた特殊幾何学の概念をN=1の場合に拡張すること。
• 開-閉チャイナル・リングと相対コホロロジー H^3(X,Y) 上の混合Hodge構造との対応関係を確立すること。
• 正則ポテンシャルとPicard-Fuchs微分方程式を用いて、インスタントン補正付きスーパーポテンシャルを計算する手法を提供すること。
• トポロジカル場理論および2次元TFTデータを用いて、N=2からN=1 compactificationへのミラー対称性の手法の一般化を図ること。

提案手法

• 開-閉Bモデルトポロジカル場理論（TFT）を用い、チャイナル・リング R_oc とRR地平状態上の平坦トポロジカル接続 ∇ を導入する。
• D-braneに関連する部分多様体 Y に対して、相対コホロロジー H^3(X,Y) 上のGauss-Manin接続から導かれるPicard-Fuchs微分方程式系を導入する。
• N=1のprepotential F(z_a)のN=1版として、スーパーポテンシャルの構成要素 W_K(z_A) を定義し、その微分がチャイナル・リングの構造定数を与える。
• ∂_A ∂_B W_K = C^K_{AB} を満たすトポロジカル平坦座標 t_A を用い、幾何学とリング乗法を結びつける。
• 周期積分 Π^α_i(z) をサイクル Γ^α ∈ H_3(X,Z) を通じて定義し、微分方程式 (∇_a - C_a)Π^α_i = 0 を満たす。
• tt*幾何学の枠組みを用いて、チャイナル・リングとスーパーポテンシャルを H^3(X,Y) 上の混合Hodge構造に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラックスとD-braneを伴うtype II compactificationにおけるN=1スーパーポテンシャルを、どのように体系的に計算できるか？
• RQ2 N=2特殊幾何学に類似した、N=1スーパーポテンシャルの背後にある幾何的構造は何か？
• RQ3 N=1理論における開-閉チャイナル・リングは、相対コホロロジー H^3(X,Y) のコホロロジー的データとどのように関係するか？
• RQ4 H^3(X) からの一般化として、H^3(X,Y) におけるPicard-Fuchs系をインスタントン補正付きスーパーポテンシャルの計算に用いることができるか？
• RQ5 tt*接続と平坦座標はN=1の文脈で果たす役割は何か？また、スーパーポテンシャルとどのように関係するか？

主な発見

• N=1スーパーポテンシャル W 及びその導関数は、チャイナル・リング R_oc を符号化しており、これは構造定数 C^K_{AB} の環に同型である。
• 正則ポテンシャル W_K(z_A) は、N=2のprepotential F(z_a)のN=1版として機能し、その微分がチャイナル・リングの構造定数を与える。
• 相対コホロロジー H^3(X,Y) 上のPicard-Fuchs方程式系は、周期積分を支配し、境界条件を用いてインスタントン補正付きスーパーポテンシャルを決定する。
• 平坦座標 t_A は ∂_A ∂_B W_K = C^K_{AB} を満たし、チャイナル・リング乗法の幾何的実現を提供する。
• H^3(X,Y) 上の混合Hodge構造は、N=1の場合の中心的幾何的対象として、H^3(X) 上のHodge構造の変動に取って代わる。
• この枠組みにより、ミラー対称性の標準的手法を開放的・閉形式的ストリング系に拡張し、スーパーポテンシャルの正確な非摂動的計算が可能になる。