[論文レビュー] Hom-Alternative, Hom-Malcev and Hom-Jordan superalgebras

K. Abdaoui, Faouzi Ammar+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$ζ_2$-gradedな一般化として、ホム代数的対応物であるホム代数的、ホム＝マルツェフ、およびホム＝ジョルダン超代数を導入し、超交換子およびプラス構成を用いてホム代数的代数的代数的性質を示している。ホム型のブラック＝クレインフェルト関数の類似物を確立し、新しい例の構成定理を提示しており、カプランスキー超代数および$D_t$超代数から、ジョルダン超代数でないホム＝ジョルダン超代数の例も構成している。

ABSTRACT

Hom-alternative, Hom-Malcev and Hom-Jordan superalgebras are $\mathbb{Z}_{2}$-graded generalizations of Hom-alternative, Hom-Malcev and Hom-Jordan algebras, which are Hom-type generalizations of alternative, Malcev and Jordan algebras. In this paper we prove that Hom-alternative superalgebras are Hom-Malcev-admissible and are also Hom-Jordan-admissible. Home-type generalizations of some well known identities in alternative superalgebras, including the $\mathbb{Z}_{2}$-graded Bruck-Kleinfled function are obtained.

研究の動機と目的

• 代数的、マルツェフ、およびジョルダン超代数の理論を、$ζ_2$-gradedなホム型一般化を導入することによってホム型設定に拡張すること。
• ホム代数的代数的超代数がホム＝マルツェフ代数的であり、かつホム＝ジョルダン代数的であることを示し、古典的代数的性質を一般化すること。
• 3次元カプランスキー超代数および4次元単純ジョルダン超代数$D_t$を用いて、ジョルダン超代数でない新しいホム＝ジョルダン超代数の例を構成すること。
• ホム代数的代数的超代数の文脈において、$ζ_2$-gradedなブラック＝クレインフェルト関数のホム型類似物を確立すること。

提案手法

• ホム超代数を、偶数次元の双線形積$\mu$と偶数次元の線形ねじれ写像$\alpha$を持つ三つ組$(\mathcal{A}, \mu, \alpha)$として定義し、$\alpha \circ \mu = \mu \circ \alpha^{\otimes 2}$を満たすようにする。
• ホム代数的超代数を、$\alpha$-ねじれ歪対称性および超代数的性質を含む超結合子条件を用いて定義する。
• ホム＝マルツェフ超代数を、ホム代数的超代数の超交換子を用いて構成し、自己弱写像に関して閉じていることを証明する。
• ホム＝ジョルダン代数的性質を確立するために、ホム超代数$\mathcal{A}^+ = (\mathcal{A}, \ast, \alpha)$を定義し、$x \ast y = \frac{1}{2}(\mu(x,y) + (-1)^{|x||y|}\mu(y,x))$と定める。
• 導出および誘導構成を用いる：$\mathcal{A}_\beta = (\mathcal{A}, \mu_\beta, \beta\alpha)$および$\mathcal{A}^n = (\mathcal{A}, \mu^{(n)}, \alpha^{2^n})$を用いて、新しいホム代数的超代数を生成する。
• パrameters $a, b, c, t \in \mathbb{K}^*$および$1 + bc \neq 0$を用いて、3次元カプランスキー超代数および4次元$D_t$超代数から、ジョルダン超代数でない具体的なホム＝ジョルダン超代数の例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホム代数的超代数はホム＝マルツェフ代数的であるか？ もしそうであれば、超交換子構成を用いてどのように証明されるか？
• RQ2 古典的ジョルダン代数的性質が、プラス構成を用いてホム設定に一般化可能か？
• RQ3 代数的超代数におけるブラック＝クレインフェルト関数およびその他の恒等式のホム型類似物は何か？ それらは代数的性質の証明にどのように寄与するか？
• RQ4 既知のジョルダン超代数からねじれ写像を用いて、ジョルダン超代数でないホム＝ジョルダン超代数を構成可能か？
• RQ5 ホム超代数がホム＝ジョルダン代数的であるための必要十分条件は何か？ また、導出および誘導構成はこの性質をどのように保存するか？

主な発見

• ホム代数的超代数はホム＝マルツェフ代数的である：任意のホム代数的超代数の超交換子ホム超代数は、ホム＝マルツェフ超代数的恒等式を満たす。
• ホム代数的超代数はホム＝ジョルダン代数的である：任意のホム代数的超代数のプラスホム超代数$\mathcal{A}^+$はホム＝ジョルダン超代数である。
• ホム＝マルツェフ超代数のカテゴリは、自己弱写像に関して閉じている。これは定理\ref{inducedMALCEV}によって示された。
• ホム＝ジョルダン代数的超代数のカテゴリは、$\beta$-誘導および導出構成の両方に関して閉じている。これは定理\ref{iduced}および\ref{admissible}によって証明された。
• 3次元カプランスキー超代数および4次元$D_t$超代数から、具体的な4次元ホム＝ジョルダン超代数が構成された。$1 + bc \neq 0$かつ$a \neq 1$のとき、ジョルダン超代数的恒等式が破られるため、これらはジョルダン超代数でない。
• ホム型一般化された$ζ_2$-gradedブラック＝クレインフェルト関数が、ホム＝マルツェフ代数的性質の証明に用いられ、古典的恒等式がホム設定に拡張された。