[論文レビュー] Homeotopy groups of rooted tree like non-singular foliations on the plane

Yuliia Soroka|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、直径が有限な根付き木に類似した葉空間を持つ平面における特異点のない foliation のホモトピー群 $π_0H^+(F)$ を特徴づける。ストライプ構造の表面を繰り返し接合する再帰的構成を用いて、このような群が特定のクラスの群の可算個の直積およびワイヤープロダクトであることを証明し、これらのマッピングクラス群の完全な代数的分類を確立する。

ABSTRACT

Let $F$ be a non-singular foliation on the plane with all leaves being closed subsets, $H^{+}(F)$ be the group of homeomorphisms of the plane which maps leaves onto leaves endowed with compact open topology, and $H^{+}_{0}(F)$ be the identity path component of $H^{+}(F)$. The quotient $π_0 H^{+}(F) = H^{+}(F)/H^{+}_{0}(F)$ is an analogue of a mapping class group for foliated homeomorphisms. We will describe the algebraic structure of $π_0 H^{+}(F)$ under an assumption that the corresponding space of leaves of $F$ has a structure similar to a rooted tree of finite diameter.

研究の動機と目的

• 特異点のない平面における foliation で、葉空間が直径が有限な根付き木に類似するものについて、マッピングクラス群 $π_0H^+(F)$ を分類すること。
• 葉を保存するホモトピーの成分群の代数的構造を特定すること。
• ストライプ表面の再帰的構成と群論的演算（例えばワイヤープロダクト）を用いて、このようなホモトピー群の完全な特徴づけを確立すること。
• 特定のクラスの可算個の直積およびワイヤープロダクトからなるすべての群が、ある種のこのような foliation に対して $π_0H^+(F)$ として現れることを示すこと。

提案手法

• 境界の区間を向きを保つアフィンホメオモルフィズムで接合することにより、モデルストリップを繰り返し接合してストライプ構造の表面を構成する。
• これらの表面に標準的な foliation を定義し、葉が水平線および境界線分であるようにする。また、foliated ホメオモルフィズムの群 $H^+(F)$ を研究する。
• 特別な葉の概念を導入し、葉空間の木に類似した構造を用いて $H^+(F)$ のホモトピー型を分析する。
• 葉空間の木の直径に関する帰納的推論を適用し、$π_0H^+(F)$ が単純な群の可算個の直積またはワイヤープロダクトであることを分類する。
• 定理 5.3 を用いて、$π_0H^+(F)$ の構造を準同型写像 $η$ の像に関連付け、群が直積かワイヤープロダクトかを特定する。
• 既存のストライプ表面のコピーを再帰的に接合して、目的の群構造を実現する新しい表面を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直径が有限な木に類似した葉空間を持つ平面における特異点のない foliation について、ホモトピー群 $π_0H^+(F)$ の代数的構造は何か？
• RQ2 群 $π_0H^+(F)$ は、foliated ホメオモルフィズムの経路成分群としてどのように実現されるか？
• RQ3 どの可算群がこのような foliation に対して $π_0H^+(F)$ として現れるか？
• RQ4 葉空間の木の直径は、$π_0H^+(F)$ の群構造にどのように影響するか？
• RQ5 特別な葉と境界接合のパターンは、群構造を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 境界接合写像 $η$ の像が自明である場合、ホモトピー群 $π_0H^+(F)$ は特定のクラスに属する群の可算個の直積と同型である。
• $η$ の像が $k\mathbb{Z}$ に同型である場合、群 $π_0H^+(F)$ はワイヤープロダクト $\left(\prod_{i=0}^{k-1} A_i\right) \wr \mathbb{Z}$ と同型であり、各 $A_i$ はそのクラスに属する群である。
• 高さが $k$ より小さい群の可算個の直積およびワイヤープロダクトによって生成されるクラス $\mathcal{G}'$ に属するすべての群が、ある種のこのような foliation に対して $π_0H^+(F)$ として現れる。
• 表面が出力境界成分を一切持たない単一の許容可能なモデルストリップである場合、群 $π_0H^+(F)$ は自明である。
• 表面が $π_1$-様な境界構造を持つストリップである場合、群 $π_0H^+(F)$ は $\mathbb{Z}$ と同型であり、これは $\{1\} \wr \mathbb{Z}$ に相当する。
• このような群 $\pi_0H^+(F)$ 全体のクラスは、ちょうどクラス $\mathcal{G}'$ と一致し、完全な代数的特徴づけが証明された。