[論文レビュー] Homological mirror symmetry for Milnor fibers of simple singularities

Yankı Lekili, Kazushi Ueda|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、次元が1より大きい単純特異点のミルナー多様体に対して、ホモロジカルミラー対称性を証明する。そのために、ミルナー多様体の導来包絡ホイットニー・フューカヤカテゴリと、可逆多項式の転置に関連する行列因子化カテゴリの間の擬等値を確立する。主な結果として、[LU, Conjecture 1.5] の予想1.1が次元 >1 のすべての単純特異点に対して確認され、Calabi–Yau完備化と導来n-プレプロジェクティブ代数およびミルナー多様体のシンプレクティックコホモロジーの明示的 Hochschild コホモロジー計算を用いる。

ABSTRACT

We prove homological mirror symmetry for Milnor fibers of simple singularities in dimensions greater than one, which are among the log Fano cases of Conjecture 1.5 in arXiv:1806.04345. The proof is based on a relation between matrix factorizations and Calabi--Yau completions. As an application, we give an explicit computation of the Hochschild cohomology group of the derived $n$-preprojective algebra of a Dynkin quiver for any $n \geq 1$, and the symplectic cohomology group of the Milnor fiber of any simple singularity in any dimension greater than one.

研究の動機と目的

• 次元が1より大きい単純特異点のミルナー多様体に対するホモロジカルミラー対称性を確立すること。
• 行列因子化カテゴリと包絡ホイットニー・フューカヤカテゴリの間の擬等値を用いて、[LU, Conjecture 1.5] の予想1.1をすべての単純特異点に対して検証すること。
• 任意のディンキン・クイバーと任意の n ≥ 1 に対して、導来n-プレプロジェクティブ代数の Hochschild コホモロジーを計算すること。
• 次元 >1 の任意の単純特異点のミルナー多様体のシンプレクティックコホモロジーを特定すること。

提案手法

• n ≥ 2 の場合、w + x₀⋯xₙ₊₁ の Γw-不変行列因子化のdgカテゴリと w のみのそれとの間の擬等値を、形式的右同値性を用いて確立する。
• n-カルビ–ヤウ完備化を適用して、w の行列因子化とディンキン・クイバーのパス代数の行列因子化を関連づける。Πⁿ(mf(An+1, Γw, w)) ≃ mf(An+2, Γw, w) が成り立つ。
• 既知の行列因子化とディンキン・クイバーのパス代数上の完全複体との同値性（例：Knörrer周期性やミューテーションを介して）を用いて、mf(An+1, Γw, w) ≃ perf AQ を同定する。
• Hochschild コホモロジーの計算により、最終的な擬等値 W(φ⁻¹(1)) ≃ Πⁿ(perf AQ) を証明し、E特異点に対して [EL17] のギャップを埋める。
• Jacobィアン環と次数付き成分へのスペクトル系列を用いて Hochschild コホモロジーを計算し、正則類 χ に比例する次数を分析する。
• 群の特徴と Jacwγ ⊗ Λdim Nγ N∨γ 内の単項式基底の明示的パラメトライゼーションを用いて、HHt および HHt+1 への寄与を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元が1より大きい単純特異点のミルナー多様体に対して、ホモロジカルミラー対称性は成立するか？
• RQ2 Landau–Ginzburg ミラー ( [An+2/Γw], w + x₀⋯xₙ₊₁ ) は、ミルナー多様体 φ⁻¹(1) の導来包絡ホイットニー・フューカヤカテゴリと擬等値か？
• RQ3 任意の n ≥ 1 に対して、ディンキン・クイバーの導来n-プレプロジェクティブ代数の Hochschild コホモロジーは何か？
• RQ4 次元 >1 の単純特異点のミルナー多様体のシンプレクティックコホモロジーは何か？
• RQ5 導来n-プレプロジェクティブ代数とミルナー多様体のコホモロジー群は、ミラー対称性の下でどのように一致するか？

主な発見

• すべての次元 n+1 ≥ 3 の単純特異点に対して、擬等値 mf(An+2, Γw, w + x₀⋯xₙ₊₁) ≃ W(φ⁻¹(1)) が成り立ち、n ≥ 2 の場合に予想1.1が確認される。
• 任意のディンキン・クイバー Q と任意の n ≥ 1 に対して、導来n-プレプロジェクティブ代数の Hochschild コホモロジーが明示的に計算され、HHt および HHt+1 への寄与は Jacwγ ⊗ Λdim Nγ N∨γ 内の単項式から生じる。
• E₆ 型では、HHt および HHt+1 への寄与は 7k₀ + 3k₁ + 5k₂ = 15m (m ∈ ℕ) を満たす (k₀, k₁, k₂) から生じる。n = 1 のとき t = 2m であり、n > 1 のとき t = 12k₁ + 20k₂ + 58m′ − (6k₁ + 10k₂ + 30m′)n である。
• E₈ 型では、n > 1 のとき k₀ が偶数である解が HHt および HHt+1 への寄与をもたらし、n が奇数のとき 14k₀ + 6k₁ + 10k₂ = 30m を満たす k₀ が奇数である解が寄与する。
• 次元 >1 の任意の単純特異点のミルナー多様体のシンプレクティックコホモロジーは、導来n-プレプロジェクティブ代数の Hochschild コホモロジーと同型であり、HHn への寄与は E₈ で8つの元、E₆ で6つの元が ker χ 内に存在する。
• E₈ 型では、m = −1 のとき x∨₀ ⊗ x²₁ ⊗ x∨₃ ∧ ⋯ ∧ x∨ₙ₊₁ が HHn に C(−n) を寄与させ、ker χ 内の8つの群元が HHn に C(−n) を寄与させ、シンプレクティックコホモロジーの構造が確認される。