[論文レビュー] Homological Projective Duality via Variation of Geometric Invariant Theory Quotients

Matthew R. Ballard, Dragos Deliu+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 41被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、幾何的不変理論（VGIT）の変動を用いて、Landau-Ginzburgのホモロジカルな射影双対を構成する幾何的枠組みを開発する。導出された結果として、$[\operatorname{V}_S(\mathcal{P}) \times_S \mathbb{P}_S(S^d\mathcal{P}^*) / \mathbb{G}_m], w)$ というガージャー Landau-Ginzburgモデルが、Veronese埋め込み $\mathbb{P}_S(\mathcal{P}) \to \mathbb{P}_S(S^d\mathcal{P})$ の弱いホモロジカルな射影双対であることが示され、完全線形断片の導来カテゴリが半直交分解を通じて関連づけられる。

ABSTRACT

We provide a geometric approach to constructing Lefschetz collections and Landau-Ginzburg Homological Projective Duals from a variation of Geometric Invariant Theory quotients. This approach yields homological projective duals for Veronese embeddings in the setting of Landau Ginzburg models. Our results also extend to a relative Homological Projective Duality framework.

研究の動機と目的

• 幾何的不変理論の技法を用いて、Landau-Ginzburgモデルへのホモロジカルな射影双対性を拡張すること。
• VGIT商の変動を通じて、Lefschetzコレクションおよびホモロジカルな射影双対の幾何的構成を提供すること。
• KuznetsovのHPDフレームワークを滑らかな基底多様体上の相対的状況に一般化すること。
• 非可換およびLandau-Ginzburgモデルの文脈において、Veronese埋め込みおよびGrassmann多様体に対する既知の結果を回復・拡張すること。
• 半直交分解を通じて、Veronese埋め込みの線形断片とその双対の導来カテゴリの導来同値性を確立すること。

提案手法

• 線形束の全空間に対する有理的変形を、幾何的不変理論（VGIT）の商の変動を用いて実行する。
• BFK12 に由来する半直交分解を応用し、商多様体上の Lefschetz コレクションを構成する。
• $w$ を全次数 $d$ 多項式とするガージャー Landau-Ginzburgモデル $[\operatorname{V}_S(\mathcal{P}) \times_S \mathbb{P}_S(S^d\mathcal{P}^*) / \mathbb{G}_m], w)$ を構築する。
• VGITにおけるウォールクロッシング技法を用い、異なるGIT商を関連づけ、半直交分解を誘導する。
• Orlovの定理の相対的版および導来カテゴリの分解を適用し、完全線形断片の導来カテゴリを関連付ける。
• 特に $\mu^d(1 \otimes v_{i_1}, \dots, 1 \otimes v_{i_d}) = \frac{u}{d!} \frac{\partial^d w}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_d}}$ という木の公式を用いた明示的な $A_\infty$-代数構造（高次積）を用い、非可換双対を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的不変理論を用いて、ホモロジカルな射影双対性を Landau-Ginzburg モデルへ拡張可能か？
• RQ2 Veronese型埋め込みに対して、VGITを用いて Lefschetz コレクションおよび双対を体系的に構成できるか？
• RQ3 Landau-Ginzburg設定下で、Veronese埋め込みの線形断片とその双対の導来カテゴリの関係は何か？
• RQ4 一般の滑らかな基底多様体上での相対的HPDフレームワークはどの程度成立するか？
• RQ5 $A_\infty$-代数を用いて構成された非可換双対は、$d=2$ のVeronese埋め込みに対してKuznetsovの結果を回復できるか？

主な発見

• ガージャー Landau-Ginzburgモデル $[\operatorname{V}_S(\mathcal{P}) \times_S \mathbb{P}_S(S^d\mathcal{P}^*) / \mathbb{G}_m], w)$ は、Veronese埋め込み $\mathbb{P}_S(\mathcal{P}) \to \mathbb{P}_S(S^d\mathcal{P})$ の弱いホモロジカルな射影双対である。
• Landau-Ginzburgモデルの導来カテゴリには、双対 Lefschetz コレクション $\langle \mathcal{B}_j(-j), \dots, \mathcal{B}_0 \rangle$ が存在する。
• 完全線形断片 $\mathbb{P}_S(\mathcal{P}) \times_{\mathbb{P}_S(S^d\mathcal{P})} \mathbb{P}_S(\mathcal{W})$ に対して、$r < \lceil (\operatorname{rk}\mathcal{P} - d)/d \rceil - 1$ のとき、導来カテゴリは双対LGモデルを含む半直交和に分解される。
• 一方、$r \geq \lceil (\operatorname{rk}\mathcal{P} - d)/d \rceil - 1$ のとき、LGモデルの導来カテゴリは線形断片の導来カテゴリに埋め込まれる。
• この構成により、$d=2$ の場合に Kuznetsov のホモロジカルな射影双対が回復され、相対的状況へ拡張される。
• 高次微分 $w$ を用いて定義される $\mu^d$ を持つ、$\mathcal{A} = \bigoplus_{k \in \mathbb{Z}} u^k \mathcal{O}_{\mathbb{P}(S^d W^*)}(k) \otimes \Lambda^\bullet W^*$ 上の $A_\infty$-代数構造は、双対空間の非可換解消を提供する。