[論文レビュー] Homological S-Duality in 4d N=2 QFTs

Matteo Caorsi, Sergio Cecotti|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、4次元 N=2 量子場理論における S duality をホモロジー的枠組みで確立し、S duality 群 S(F) を、物理的観測量に自明に作用するものを除いた、クラスターカテゴリ C(F) の三角自己同値の群として同定する。S(F) は、クーロン枝次元 g に対して Sp(2g, Z) の離散部分群であることが示され、一般化されたブレッド群とテレスコピック関手を通じた具体的な行列表現が提示され、スピンルの物質を含むモデル（例：SO(8) × SO(5)^3 × SO(3)^6）において、予想をはるかに超える S duality の強化が明らかになる。

ABSTRACT

The $S$-duality group $\mathbb{S}(\mathcal{F})$ of a 4d $\mathcal{N}=2$ supersymmetric theory $\mathcal{F}$ is identified with the group of triangle auto-equivalences of its cluster category $\mathscr{C}(\mathcal{F})$ modulo the subgroup acting trivially on the physical quantities. $\mathbb{S}(\mathcal{F})$ is a discrete group commensurable to a subgroup of the Siegel modular group $Sp(2g,\mathbb{Z})$ ($g$ being the dimension of the Coulomb branch). This identification reduces the determination of the $S$-duality group of a given $\mathcal{N}=2$ theory to a problem in homological algebra. In this paper we describe the techniques which make the computation straightforward for a large class of $\mathcal{N}=2$ QFTs. The group $\mathbb{S}(\mathcal{F})$ is naturally presented as a generalized braid group. The $S$-duality groups are often larger than expected. In some models the enhancement of $S$-duality is quite spectacular. For instance, a QFT with a huge $S$-duality group is the Lagrangian SCFT with gauge group $SO(8) imes SO(5)^3 imes SO(3)^6$ and half-hypermultiplets in the bi- and tri-spinor representations. We focus on four families of examples: the $\mathcal{N}=2$ SCFTs of the form $(G,G^\prime)$, $D_p(G)$, and $E_r^{(1,1)}(G)$, as well as the asymptotically-free theories $(G,\widehat{H})$ (which contain $\mathcal{N}=2$ SQCD as a special case). For the $E_r^{(1,1)}(G)$ models we confirm the presence of the $PSL(2,\mathbb{Z})$ $S$-duality group predicted by Del Zotto, Vafa and Xie, but for most models in this class $S$-duality gets enhanced to a much larger group.

研究の動機と目的

• 4次元 N=2 量子場理論 F の S duality 群 S(F) を、そのクラスターカテゴリ C(F) の三角自己同値の群として同定すること（物理的量に自明に作用するものを除く）。
• S(F) の計算を、導来カテゴリとルートカテゴリの自己同値に結びつけることで、ホモロジー代数の問題に還元すること。
• SCFT や漸近的に自由な理論を含む広範な N=2 理論クラスに対して、S(F) を体系的に計算するための手法を提供すること。
• 半ハイパーマルチプレットがスピンル表現にある理論において、S duality がしばしば予想をはるかに上回る形で強化されることを示すこと。
• S(F) を一般化されたブレッド群としての具体的な行列表現を確立することにより、Siegel modular 群 Sp(2g, Z) と関連付けること。

提案手法

• 4次元 N=2 量子場理論 F に関連するクラスターカテゴリ C(F) を定義し、BPS 状態がカテゴリ内の対象として対応することを示す。
• S duality 群 S(F) を、C(F) の三角自己同値の群として同定し、物理的観測量に自明に作用するものを除く。
• カテゴリカルな 4d/2d 対応を用い、ルートカテゴリ R(˜F) を介して 4次元理論と 2次元量子場理論を関連づけ、S duality を量子モノドロミーと結びつける。
• 特に導来カテゴリにおける球面的半軌道を用いた、トーマス＝サイデルのねじりとテレスコピック関手による自己同値の構成を行う。
• 2次元量子モノドロミーと導来ピカード群から得られる行列 LA を用いて、S(F) をフレーバー格子への作用として行列群として実現する。
• ダイアディック関手と標準的SYM セクターを用い、(G, G′)、Dp(G)、E(1,1)_r(G)、および (G, bH) の特定クラスに対して、双対性群の計算を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 N=2 量子場理論の S duality 群 S(F) を、ホモロジー代数を用いて体系的にどのように計算できるか？
• RQ2 S(F) の正確な代数的構造は何か？ また、Siegel modular 群 Sp(2g, Z) とどのように関係しているか？
• RQ3 なぜ特定の N=2 理論（例：スピンル表現の半ハイパーマルチプレットを含む理論）では、S duality が著しく強化されるのか？
• RQ4 クラスターカテゴリ C(F) の自己同値は、物理的 S duality 変換とどのように対応するか？
• RQ5 4次元 S duality 群は一般化されたブレッド群として実現可能か？ その行列表現は何か？

主な発見

• S duality 群 S(F) は、物理的観測量に自明に作用するものを除いた、クラスターカテゴリ C(F) の三角自己同値の群と同型である。
• S(F) は、クーロン枝次元 g に対して Sp(2g, Z) の部分群と可換な離散群であり、明示的な行列表現が得られる。
• E(1,1)_r(G) モデルにおいて、デル・ツォット、バーファ、シェイの予測した PSL(2, Z) duality を確認するが、しばしばより大きな群に強化されていることが示される。
• ゲージ群が SO(8) × SO(5)^3 × SO(3)^6 で、半ハイパーマルチプレットが二重および三重スピンル表現にあるラグランジュ型 SCFT において、S(F) は非常に大きく、S duality の顕著な強化が示される。
• S duality 群は自然に一般化されたブレッド群として提示され、生成子はルートカテゴリ R(˜F) の球面的半軌道とテレスコピック関手から生じる。
• 2次元量子モノドロミーから得られる行列 LA は、S(F) のフレーバー格子への作用を実現し、フレーバー対称性のワイル群として作用する。一部の場合は複素反射群構造を示す。