[論文レビュー] Homology Computation of Large Point Clouds using Quantum Annealing

Raouf Dridi, Hedayat Alghassi|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 29被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、クリークカバーを用いてデータを管理可能な部分複体に分解することで、大規模な点群のホモロジーを計算するための量子アニーリングパイプラインを提示する。この手法は、クリークカバーのための3つのQUBO定式化を解くために量子アニーリングを活用しており、カバー処理後の段階でデータサイズに比例する多項式スケーリングを実現する。D-Wave 2Xプロセッサを用いた成功したテストが行われた。

ABSTRACT

Homology is a tool in topological data analysis which measures the shape of the data. In many cases, these measurements translate into new insights which are not available by other means. To compute homology, we rely on mathematical constructions which scale exponentially with the size of the data. Therefore, for large point clouds, the computation is infeasible using classical computers. In this paper, we present a quantum annealing pipeline for computation of homology of large point clouds. The pipeline takes as input a graph approximating the given point cloud. It uses quantum annealing to compute a clique covering of the graph and then uses this cover to construct a Mayer-Vietoris complex. The pipeline terminates by performing a simplified homology computation of the Mayer-Vietoris complex. We have introduced three different clique coverings and their quantum annealing formulation. Our pipeline scales polynomially in the size of the data, once the covering step is solved. To prove correctness of our algorithm, we have also included tests using D-Wave 2X quantum processor.

研究の動機と目的

• トポロジカルデータ解析における大規模な点群におけるホモロジー計算の指数的古典的スケーリングを克服する。
• 古典的計算ボトルネックを克服するための量子最適化パイプラインを開発する。
• クリークカバー問題を量子アニーリングで解けるQUBOに再定式化することで、大規模データセットにおけるスケーラブルなホモロジー計算を可能にする。
• D-Wave 2X量子プロセッサを用いてパイプラインの実行可能性と正しさを実証する。
• 量子アニーリングがクリークカバー段階を加速する、ソルバに依存しないフレームワークを提供し、大規模データセットにおける多項式時間ホモロジー計算を実現する。

提案手法

• 点群を1-スケルトングラフで近似し、クリーク拡張を用いて単体的複体を構築する。
• 1-スケルトンをクリークでカバーすることで、メイヤー＝ビートリスのブロー・アップ構成を適用し、複体を分解する。
• 最小エッジクリークカバー、最小頂点クリークカバー、エッジに交わらないエッジクリークカバーの3つのクリークカバー問題を、二次無制約0-1最適化（QUBO）問題として定式化する。
• 論理的キュービットの埋め込みとチェーンマッピングを介して、QUBO問題をD-Wave 2Xプロセッサのチメラアーキテクチャにマップする。
• 量子アニーリングを用いてQUBO問題を解き、単体的データを圧縮するクリークカバーを取得する。
• クリークカバーからメイヤー＝ビートリス複体を構築し、得られた複体上で簡略化されたホモロジー計算を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アニーリングは、大規模な点群におけるスケーラブルなホモロジー計算の根幹をなすクリークカバー問題に効果的に適用可能か？
• RQ2 提案されたパイプラインは、古典的指数的スケーリングと比較して、クリークカバー段階以降でデータサイズに比例する多項式スケーリングを達成するか？
• RQ3 D-Wave 2Xプロセッサは、ホモロジー計算に必要なクリークカバー問題のQUBO定式化を信頼性を持って解けるか？
• RQ4 エッジ、頂点、エッジに交わらないといった異なるクリークカバー定式化は、得られるホモロジー計算の効率性と正確性にどのように影響するか？
• RQ5 メイヤー＝ビートリス複体の構築が、元の点群のトポロジカル不変量（例：ベッチ数）をどの程度保持するか？

主な発見

• クリークカバー段階が解決された後、ホモロジー計算におけるデータサイズに比例する多項式スケーリングが達成され、古典的指数的スケーリングが克服された。
• 最小エッジ、最小頂点、エッジに交わらないエッジクリークカバーの3つの異なるQUBO定式化が、成功裏に実装およびテストされた。
• D-Wave 2Xプロセッサは、クリークカバーのQUBO問題を正常に解き、最大16ノードおよび56エッジのグラフの埋め込みが確認された。
• 12×12チメラ格子上で、50変数のQUBO問題（280の問題結合、586のチェーン結合）の埋め込みが確認された。
• 結果表におけるチェックマークにより、テストグラフのベッチ数が正しく計算されたことが示された。
• この手法は、量子アニーリングを用いてクリークカバーによる大規模な単体的複体の圧縮が可能であり、大規模データの効率的トポロジカル解析が実現可能であることを示している。