[論文レビュー] Homology of moduli spaces of curves and commutative homotopy algebras

Takashi Kimura, Jim Stasheff+1 more|ArXiv.org|Feb 8, 1995

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、曲線のモジュライ空間のホモロジーと可換ホモトピー代数（C∞-代数）の間の関係を確立し、コンパクト化されたリーマン面のモジュライ空間の特異的チェインオペラッドの代数が、次数条件を満たすと自然にC∞-代数構造を持つことを示している。主な結果は、モジュライ空間のコホモロジーに収束するスペクトル系列であり、E1項はコンパクト化されたモジュライ空間コホモロジーのモジュラー余オペラッドのコバーブィルト構成によって与えられ、ホッジ構造の純粋性によりE2で退化する。

ABSTRACT

We propose an explicit relation between the cohomology of compactified and noncompactified moduli spaces of algebraic curves with punctures. This relationship generalizes one between commutative algebras and Lie algebras proposed by Lazard, Kontsevich and Ginzburg and Kapranov. More explicitly, we show that the cohomology of one moduli space is the graph complex decorated with the cohomology of the other, which in its turn generalizes Getzler's result for the genus zero moduli. We also show that a certain class of algebras over the chain operad of compactified moduli spaces has a natural structure of a commutative homotopy algebra. This may be regarded as a lifting of the dot product of Lian-Zuckerman's BV algebra structure to the cochain level, thus complementing the results of an earlier paper hep-th/9307114 of the authors regarding the BV bracket.

研究の動機と目的

• 曲線のモジュライ空間のホモロジーを通じたC∞-代数の幾何的実現を確立すること。
• LianとZuckermanが提起した、BRSTコホモロジーにおけるBV代数構造をコチェインレベルに上昇させる問題に応えること。
• H•(M̄_{g,n})のコバーブィルト構成を用いて、モジュライ空間M_{g,n}のコホモロジーに収束するスペクトル系列を構成すること。
• H•(M̄_{g,n})のホッジ構造の純粋性により、スペクトル系列がE2で退化することを証明すること。
• ホモロジーH•(M̄_{g,n})の双対スペクトル系列が、g=0のときのみE2で退化するが、一般にはそうではないことを記述すること。

提案手法

• コンパクト化されたリーマン球面の(n+1)個の穴を持つモジュライ空間M̄(n)の特異的チェインオペラッドを用いる。
• H•(M̄_{g,n})のモジュラー余オペラッドにコバーブィルト構成を適用し、H•(M_{g,n})に収束するスペクトル系列を構築する。
• H•(M̄_{g,n})におけるホッジ構造の純粋性を活用して、スペクトル系列のE2退化を証明する。
• 複体Vの自己準同型オペラッドにフィルトレーションを定義し、オペラッド構造に沿ったスペクトル系列を誘導する。
• フィルター付きC•(M̄)-代数が、スペクトル系列のE0、E1、E2項に沿った代数を誘導することを示す。
• フェインマン変換と一般化されたコバーブィルト構成を用いて、オペラッド的枠組みにおけるグラフと木を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト化されたモジュライ空間の特異的チェインオペラッドの代数は、C∞-代数構造を備えられるか？
• RQ2 C•(M̄_{g,n})の標準的フィルトレーションに伴うスペクトル系列はE2で退化するか？ もしそうであるなら、その理由は何か？
• RQ3 BRSTコホモロジーにおけるBV代数構造を、オペラッド的ホモトピー理論を用いてコチェインレベルに上昇させることは可能か？
• RQ4 コホモロジーのモジュライ空間M_{g,n}をスペクトル系列を通じて実現する際、コバーブィルト構成の果たす役割は何か？
• RQ5 ホモロジーH•(M̄_{g,n})の双対スペクトル系列がE2で退化する条件は何か？

主な発見

• H•(M_{g,n})に収束するスペクトル系列のE1項は、モジュラー余オペラッドH•(M̄_{g,n})のコバーブィルト構成と同型である。
• ホッジ構造の純粋性により、スペクトル系列はE2で退化する。
• 次数条件を満たすC•(M̄(n))-代数は、次数 > n−2 のチェイン上で消えると、自然にC∞-代数となる。
• フィルター付き複体Vに伴うスペクトル系列のE1項は、微分Qを備えたVの自己準同型オペラッドと同型である。
• スペクトル系列のE2項は、オペラッドH•(M̄_{g,n})と同型であり、H(V)はこのオペラッド上の代数となる。
• g=0のとき、H•(M̄_{g,n})の双対スペクトル系列もE2で退化するが、g>0では一般にはそうではない。