[論文レビュー] Homomorphisms into a simple Z-stable C*-Algebras

Huaxin Lin, Zhuang Niu|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Z-安定で有理数のトレース的ランクが1以下である単位的分離可能単純なアーベルでないC*-代数間の単位的*-単準同型について、一意性定理を確立する。すなわち、それらが近似的にユニタリ同値であることの必要十分条件は、KL理論、トレース状態空間（Aff(T)）およびユニタリ群の交換子部分群による商（U/ CU）上で同じ写像を誘導することである。この結果は有理数のAH代数へも拡張され、K理論的およびトレース的データの整合性に基づくホモモーフィズムの分類を提供する。

ABSTRACT

Let $A$ and $B$ be unital separable simple amenable \CA s which satisfy the Universal Coefficient Theorem. Suppose {that} $A$ and $B$ are $\mathcal Z$-stable and are of rationally tracial rank no more than one. We prove the following: Suppose that $ϕ, ψ: A o B$ are unital {monomorphisms}. There exists a sequence of unitaries $\{u_n\}\subset B$ such that $$ \lim_{n o\infty} u_n^*ϕ(a) u_n=ψ(a) foral a\in A, $$ if and only if $$ [ϕ]=[ψ]\,\,\, ext{in}\,\,\, KL(A,B), ϕ_{\sharp}=ψ_{\sharp}\andeqnϕ^‡=ψ^‡, $$ where $ϕ_{\sharp}, ψ_{\sharp}: \aff(T(A)) o \aff(T(B))$ and $ϕ^‡, ψ^‡: U(A)/CU(A) o U(B)/CU(B)$ are {the} induced maps and where $T(A)$ and $T(B)$ are tracial state spaces of $A$ and $B,$ and $CU(A)$ and $CU(B)$ are closure of {commutator} subgroups of unitary groups of $A$ and $B,$ respectively. We also show that this holds for some AH-algebras $A.$ {Moreover, if $κ\in KL(A,B)$ preserves the order and the identity, $λ: \aff( r(A)) o \aff( r(B))$ is a continuous affine map and $γ: U(A)/CU(A) o U(B)/CU(B)$ is a \hm\, which are compatible, we also show that there is a unital \hm\, $ϕ: A o B$ so that $([ϕ],ϕ_{\sharp},ϕ^‡)=(κ, λ, γ),$ at least in the case that $K_1(A)$ is a free group,

研究の動機と目的

• Z-安定C*-代数間の2つの単位的*-単準同型が近似的にユニタリ同値である条件を特定すること。
• 有限トレース的ランク代数にとどまらず、有理数のトレース的ランク ≤1 のZ-安定代数へまで一意性定理を拡張すること。
• KL理論、トレース状態空間写像、およびユニタリ商写像の整合的データに基づく単位的ホモモーフィズムの分類を確立すること。
• K₁(A) が自由群である条件下で、任意の整合的三重組 (κ ∈ KL(A,B), λ: Aff(T(A)) → Aff(T(B)), γ: U(A)/CU(A) → U(B)/CU(B)) を実現する単位的ホモモーフィズム φ: A → B の存在を証明すること。

提案手法

• Elliottプログラムの分類道具立て、特に[18]、[16]、[32]の技術を用いて、Z-安定C*-代数間のホモモーフィズムを分析する。
• ホモモーフィズムを比較するためにKL理論不変量を適用し、[φ] = [ψ] in KL(A,B) が必要な条件であることを要請する。
• 誘導写像 φ♯: Aff(T(A)) → Aff(T(B)) および φ‡: U(A)/CU(A) → U(B)/CU(B) を分析して、トレース的およびユニタリデータを捉える。
• Jiang-Su代数 𝒵 の構造とそのテンソル的吸収性を用いて、整合的データ (κ, λ, γ) からホモモーフィズム φ: A → B を構成する。
• ユニタリの経路と行列式計算を用いて、ユニタリ商写像条件を検証し、特に Det(Z(t,s)) ∈ ρ_A(K₀(A)) を用いて U/ CU への像を制御する。
• TR(A) ≤ 1 のとき、商 ℝρ_A(K₀(A))/ρ_A(K₀(A)) が自明であるという事実に依存し、これによりユニタリデータ条件が単純化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z-安定C*-代数 A および B に対して、有理数のトレース的ランク ≤1 を満たすとき、2つの単位的*-単準同型 φ, ψ: A → B が近似的にユニタリ同値であるのはいつか？
• RQ2 KL(A,B) において [φ] = [ψ]、φ♯ = ψ♯、φ‡ = ψ‡ であることが、このクラスのC*-代数において近似的ユニタリ同値性の十分条件であるか？
• RQ3 任意の整合的三重組 (κ ∈ KL(A,B), λ: Aff(T(A)) → Aff(T(B)), γ: U(A)/CU(A) → U(B)/CU(B)) が、ある単位的ホモモーフィズム φ: A → B によって実現可能か？
• RQ4 一意性結果は、源となる代数が非単純な有理数のAH代数に対しても拡張可能か？
• RQ5 K₁(A) の自由性は、整合的データからホモモーフィズムを実現する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 2つの単位的*-単準同型 φ, ψ: A → B が近似的にユニタリ同値であることの必要十分条件は、KL(A,B) において [φ] = [ψ]、φ♯ = ψ♯、φ‡ = ψ‡ であることである。
• 一意性結果は、Z-安定で有理数のトレース的ランク ≤1 である単位的分離可能単純なアーベルでないC*-代数 A および B に対して、UCTを満たす限り成立する。
• A が有理数のAH代数である場合、非単純であってもこの結果は成立する。
• 任意の正の単位を保つ κ ∈ KL(A,B)、連続なアフィン写像 λ: Aff(T(A)) → Aff(T(B))、連続な群準同型 γ: U(A)/CU(A) → U(B)/CU(B) が整合的であるとき、K₁(A) が自由群であれば、([φ], φ♯, φ‡) = (κ, λ, γ) を満たす単位的ホモモーフィズム φ: A → B が存在する。
• 証明により、γ を実現する障害は商 ℝρ_A(K₀(A))/ρ_A(K₀(A)) にあり、TR(A) ≤ 1 のときこの商は消えるため、ユニタリデータの一致が単純化される。
• 構成では、ユニタリ経路と 𝒵 の埋め込みを用いたテンソル積による写像 Φ: A⊗𝒵_{p,q} → A⊗𝒢_{p,q} を定義し、最終的に id_A ⊗ j および id_A ⊗ ϑ と合成することで、所望の不変量を持つホモモーフィズム φ に ψ を持ち上げる。