[論文レビュー] Homotopy Gerstenhaber Structure on Deformation Complex of a Morphism

Yuri I. Manin|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、B∞-代数を associative 代数で拡張することにより、結合的代数の間の準同型の変形複体に G∞-構造の存在を確立する。B∞-代数が associative 代数および B∞-代数に作用する方法を構築し、それらの結果として得られる G∞-代数が対応する図式代数の変形複体上の G∞-代数と quasi-isomorphic であることを証明し、その準同型のホッホシュィルト複体に L∞-構造を記述する。

ABSTRACT

G∞ -structure is shown to exist on the deformation complex of a morphism of associative algebras. The main step of the construction is extension of a B∞ -algebra by an associative algebra. Actions of B∞ -algebras on associative and B∞ -algebras are analyzed, extensions of B∞ -algebras by associative and B∞ -algebras, that they act upon, are constructed. The resulting G∞ -algebra on the deformation complex of a morphism is shown to be quasi-isomorphic to the G∞ -algebra on deformation complex of the corresponding diagram algebra. L∞ -structure is described on the Hochschild complex of a morphism.

研究の動機と目的

• 結合的代数の準同型の変形複体に G∞-構造を構築すること。
• B∞-代数が結合的代数および B∞-代数に作用する方法を分析すること。
• B∞-代数が作用する結合的代数および B∞-代数による拡張を構築すること。
• 準同型の変形複体上の G∞-代数と図式代数の複体上の G∞-代数との間の quasi-isomorphism を確立すること。
• 準同型のホッホシュィルト複体に L∞-構造を記述すること。

提案手法

• B∞-代数を associative 代数で拡張することで、変形複体構造を構築する。
• B∞-代数が associative 代数および B∞-代数に作用する方法を分析し、一貫性のある代数的拡張を可能にする。
• B∞-代数が作用する associative 代数および B∞-代数による拡張を構築し、代数的整合性を保つ。
• quasi-isomorphism を用いて、準同型の変形複体上の G∞-代数と図式代数の複合体上の G∞-代数を関連付ける。
• 高次ホモトピー作用を介して、準同型のホッホシュィルト複体に L∞-構造を記述する。
• ホモトピー代数的技法を適用し、G∞-構造が変形理論と整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合的代数の間の準同型の変形複体に G∞-構造が存在するか？
• RQ2 変形理論の文脈において、B∞-代数が結合的代数および B∞-代数にどのように作用するか？
• RQ3 B∞-代数が作用する associative 代数および B∞-代数によって一貫的に拡張可能か？
• RQ4 準同型の変形複体上の G∞-代数が図式代数の複体上の G∞-代数と quasi-isomorphic か？
• RQ5 準同型のホッホシュィルト複体にどのような L∞-構造が生じるか？

主な発見

• B∞-代数を associative 代数で拡張することにより、結合的代数の準同型の変形複体に G∞-構造が構築される。
• B∞-代数が associative 代数および B∞-代数に作用する方法が体系的に分析され、一貫性のある代数的拡張を定義するために用いられる。
• B∞-代数が作用する associative 代数および B∞-代数による拡張が明示的に構築され、必要なホモトピー論的構造が保たれる。
• 結果として得られる準同型の変形複体上の G∞-代数が、対応する図式代数の変形複体上の G∞-代数と quasi-isomorphic であることが示される。
• 準同型のホッホシュィルト複体に L∞-構造が記述され、変形理論フレームワーク内の高次ホモトピー作用と関連づけられる。