[論文レビュー] Homotopy lifting property of an $e^ε$-Lipschitz and co-Lipschitz map

Shicheng Xu|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、曲率が下から有界なアレクサンドロフ空間の文脈において、$e^\epsilon$-リプシッツかつコリプシッツな写像について、ホモトピー上の上げ上げ性（homotopy lifting property）を確立する。このような写像は、やや弱い条件下でヒュレヴィツ・ファイブレーションであることが示され、グロモフ＝ハウスドルフ収束における崩壊列の特異極限へのファイブレーション定理の拡張が可能となり、ほぼ非負曲率の空間の基本群に関するホモトピー的系列と冪零性に関する結果が得られる。

ABSTRACT

An $e^ε$-Lipschitz and co-Lipschitz map, as a metric analogue of an $ε$-Riemannian submersion, naturally arises from a sequence of Alexandrov spaces with curvature uniformly bounded below that converges to a space of only weak singularities. In this paper we prove its homotopy lifting property and its homotopy stability in Gromov-Hausdorff topology. Due to an overlook in the previous version, the part for bounding intrinsic distance of fibers will be talked about in the coming papers.

研究の動機と目的

• メトリック幾何学およびアレクサンドロフ空間の文脈において、$e^\epsilon$-リプシッツかつコリプシッツ写像のホモトピー上の上げ上げ性を確立すること。
• グロモフ＝ハウスドルフ収束におけるアレクサンドロフ空間の崩壊列の特異極限へ、ファイブレーション定理を拡張すること。
• 特に部分群の冪零性に関する結果を、ほぼ非負曲率のアレクサンドロフ空間への一般化すること。
• 一意的な水平リフトが存在しないにもかかわらず、ホモトープ的制御を保つリーマン被覆写像のメトリック版を提供すること。

提案手法

• 距離関数の繰り返し勾配変形を用いた、ファイバーへの近傍リトラクション $\varphi_p$ を導入し、一意的な水平リフトの代わりに用いる。
• アレクサンドロフ空間における $(n,\delta)$-ストレインヤーを用いて、局所的なほぼ等長写像を構築し、点の近傍での局所幾何をモデル化する。
• 曲率が下から有界なアレクサンドロフ空間の列の収束を、グロモフ＝ハウスドルフ位相を用いて分析する。
• 定義として、$e^\epsilon$-LcL 写像：すべての $r>0$ に対して $B_{e^{-\epsilon}r}(f(p)) \subseteq f(B_r(p)) \subseteq B_{e^{\epsilon}r}(f(p))$ を用い、メトリック的制御を保証する。
• ストレイン正則点の局所的ほぼ等長構造を活用し、グローバルなファイブレーション問題を局所的性質に還元する。
• 崩壊空間における基本群構造に関して、ペレラおよびカポビッチ＝ペトルニン＝トゥエシュマンの結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メトリック空間間の $e^\epsilon$-リプシッツかつコリプシッツ写像は、ホモトピー上の上げ上げ性を満たすか？
• RQ2 リーマン被覆写像のように一意的な水平リフトが存在しない状況でも、このような写像はファイブレーションとして機能するか？
• RQ3 リーマン被覆写像に関するファイブレーション定理は、アレクサンドロフ空間の特異極限へどの程度まで拡張可能か？
• RQ4 崩壊するアレクサンドロフ空間のグロモフ＝ハウスドルフ極限において、ホモトピー的および基本群の構造はどのように保存されるか？
• RQ5 ほぼ非負曲率のアレクサンドロフ空間において、基本群の冪零性は一様に有界とみなせるか？

主な発見

• 曲率が下から有界な有限次元アレクサンドロフ空間 $X$ から $n$ 次元リーマン多様体 $B$ への proper $(1.023)$-LcL 写像 $f: X \to B$ はヒュレヴィツ・ファイブレーションである。
• 任意の $n$ に対して、$\delta_0(n)$ が存在し、$B$ が $n$ 次元で、各点が $(n,\delta)$-ストレインされ、$\delta < \delta_0(n)$ ならば、$f$ はヒュレヴィツ・ファイブレーションである。
• このような写像のホモトピー・ファイバーにはホモトピー群における長完全系列が存在し、$l \geq 1$ に対して $f_*$ が同型 $\pi_l(X_i, F_i, x_i) \to \pi_l(X, x)$ を誘導する。
• ホモトピー・ファイバーの基本群には、次元 $n$ のみに依存する普遍定数 $C(n)$ によって上界が与えられる指数の冪零部分群が存在する。
• 結果はほぼ非負曲率のアレクサンドロフ空間へ拡張可能である：もし $\operatorname{diam}(M)^2 \cdot \kappa > -\epsilon(n)$ ならば、$\pi_1(M)$ は指数 $\leq C(n)$ の冪零部分群をもつ。
• 曲率が下から有界なアレクサンドロフ空間の列のグロモフ＝ハウスドルフ極限で、極限に弱い特異点が存在しても、ファイブレーション構造は保存される。