[論文レビュー] Homotopy Theory of Labelled Symmetric Precubical Sets

Philippe Gaucher|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ラベル付き対称前立方体集合のモデル圏と、立方体遷移系のボウスフィールド局域化の間で、二段階のクィレン同値を介したクィレン同値を確立する。実現関手（precubical sets から cubical transition systems への関手）は左クィレン関手ではないが、中間のモデル構造を通じてホモトピー同値を誘導し、弱同値は双方向同値と密接に関係しており、HDAパラダイムは重要な並列性の意味論を保持する。

ABSTRACT

This paper is the third paper of a series devoted to higher dimensional transition systems. The preceding paper proved the existence of a left determined model structure on the category of cubical transition systems. In this sequel, it is proved that there exists a model category of labelled symmetric precubical sets which is Quillen equivalent to the Bousfield localization of this left determined model category by the cubification functor. The realization functor from labelled symmetric precubical sets to cubical transition systems which was introduced in the first paper of this series is used to establish this Quillen equivalence. However, it is not a left Quillen functor. It is only a left adjoint. It is proved that the two model categories are related to each other by a zig-zag of Quillen equivalences of length two. The middle model category is still the model category of cubical transition systems, but with an additional family of generating cofibrations. The weak equivalences are closely related to bisimulation. Similar results are obtained by restricting the constructions to the labelled symmetric precubical sets satisfying the HDA paradigm.

研究の動機と目的

• ラベル付き対称前立方体集合のホモトピー論的枠組みを並列性理論に確立すること。
• ラベル付き対称前立方体集合のモデル圏と立方体遷移系のボウスフィールド局域化の間でクィレン同値を証明すること。
• 前立方体集合から立方体遷移系への実現関手が、これらの圏を結ぶ役割を明らかにすること。
• HDAパラダイム下での結果の拡張を行い、標準的なプロセス代数の意味論と整合性を保つこと。
• 局域化されたモデル圏における弱同値が、並列性文脈における双方向同値に対応することを示すこと。

提案手法

• 立方体遷移系の左決定モデル構造を生成するために Olschok の構成を用いる。
• ラベル付き対称前立方体集合から立方体遷移系への実現関手を導入するが、これは左随伴ではあるが左クィレン関手ではない。
• 立方体遷移系の圏に生成係数被覆の族を追加することで中間のモデル圏を構成する。
• 立方体化関手を局域化関手として用いて、立方体遷移系の圏に対するボウスフィールド局域化を適用する。
• ラベル付き対称前立方体集合のモデル圏と局域化された立方体遷移系との関係を、長さ2のクィレン同値のジグザグを介して確立する。
• 局域化されたモデル圏における弱同値が、高次元オートマトンの文脈における双方向同値と一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラベル付き対称前立方体集合のモデル圏と立方体遷移系のボウスフィールド局域化の間でクィレン同値を確立できるか？
• RQ2 実現関手（前立方体集合から立方体遷移系への関手）は、左クィレン関手ではないにもかかわらず、ホモトピー構造とどのように関係するか？
• RQ3 立方体化関手は、局域化された立方体遷移系のモデル圏における弱同値を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ4 局域化されたモデル圏における弱同値は、高次元オートマトンの文脈において双方向同値とどのように対応するか？
• RQ5 これらの構成はどの程度 HDA パラダイムを保存するのか、特にプロセスの並列合成のモデル化において？

主な発見

• ラベル付き対称前立方体集合の圏には、立方体化関手を介してボウスフィールド局域化された立方体遷移系の左決定モデル圏とクィレン同値であるモデル構造が存在する。
• ラベル付き対称前立方体集合から立方体遷移系への実現関手は左随伴ではあるが左クィレン関手ではないため、長さ2のクィレン同値のジグザグが必要となる。
• 中間のモデル圏は、立方体遷移系の圏に追加の生成係数被覆の族を備えたものである。
• 局域化されたモデル圏における弱同値が双方向同値と密接に関係していることが示された。これは並列性理論における重要な同値関係である。
• 結果はHDAパラダイムに拡張され、横断的退化写像を必要とせず、複雑な組合せ的構成を用いずに、プロセス代数の意味論が自然に捉えられる。
• クィレン同値は、二つのクィレン同値の合成として確立される：一つは前立方体集合から中間のHDAモデルへのもの、もう一つはHDAモデルから局域化された立方体遷移系へのもの。