[論文レビュー] Homotopy theory of modules over diagrams of rings

J. P. C. Greenlees, Brooke Shipley|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、図式の環スプライス上の加群の図式圏において、Quillen随伴と細胞化を用いて、可換環スプライスの図式上の加群のホモトピー理論がその図式のホモトピー逆極限上の加群の圏とQuillen同値であることを示すモデル構造を確立する。主な貢献は、細胞化後に異なる図式形状をQuillen同値で結ぶ一般枠組みの構築であり、これは有理数的等変性安定ホモトピー論およびハッセ正方形構成への応用を含む。

ABSTRACT

Given a diagram of rings, one may consider the category of modules over them. We are interested in the homotopy theory of categories of this type: given a suitable diagram of model categories M(s) (as s runs through the diagram), we consider the category of diagrams where the object X(s) at s comes from M(s). We develop model structures on such categories of diagrams, and Quillen adjunctions that relate categories based on different diagram shapes. Under certain conditions, cellularizations (or right Bousfield localizations) of these adjunctions induce Quillen equivalences. As an application we show that a cellularization of a category of modules over a diagram of ring spectra (or differential graded rings) is Quillen equivalent to modules over the associated inverse limit of the rings. Another application of the general machinery here is given in work by the authors on algebraic models of rational equivariant spectra. Some of this material originally appeared in the preprint "An algebraic model for rational torus-equivariant stable homotopy theory", arXiv:1101.2511, but has been generalized here.

研究の動機と目的

• 図式形状によってインデックス付けられた異なるモデル圏からなる各対象を含む図式の圏におけるモデル構造の構築。
• 部分図式によって誘導される制限関手を通じて、異なる形状の図式圏間のQuillen随伴の構築。
• 適切な条件下で、これらの随伴の細胞化がQuillen同値性を誘導することを示し、これにより異なるホモトピー理論を関連付ける。
• この枠組みを応用し、環スプライスの図式上の加群の圏がその図式のホモトピー逆極限上の加群の圏とQuillen同値であることを示す。
• 有理数的トーラス等変性安定ホモトピー論における技法を、図式の環と加群のより広範な設定に一般化する。

提案手法

• 小さな圏によってインデックスづけられた図式の圏に、図式射影的および図式射影的モデル構造を構成する。ここで各頂点の圏はモデル圏である。
• 図式形状の包含写像によって誘導される図式圏間の制限関手を定義し、これによりQuillen随伴が得られる。
• 細胞化の原理を適用し、導来関手が選択された細胞上で小さな対象と弱同値を保存する場合、細胞化後にQuillen随伴がQuillen同値性に変わるのを示す。
• 導来関手とホモトピー極限を用いて、図式の環上の加群とその図式の逆極限上の加群との関係を確立する。
• 安定モデル圏論と小さな条件を活用し、細胞化がQuillen同値性を保存することを保証する。
• ハッセ正方形の例に応用し、図式の環上の加群が細胞化後に逆極限（例：ℤ）上の加群とQuillen同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 図式の環上の加群の図式圏間のQuillen随伴が、細胞化後にどのような条件下でQuillen同値性に変わるか。
• RQ2 図式の環スプライス上の加群のホモトピー理論とその図式のホモトピー逆極限上の加群のホモトピー理論との関係をどのように結ぶことができるか。
• RQ3 制限およびスカラー拡張の導来関手が、細胞化プロセスにおいて小さな対象と弱同値を保存するための条件は何か。
• RQ4 図式の位置に応じて圏が変化するモデル圏の図式に、細胞化の原理を適用可能か。
• RQ5 部分図式の包含によって図式形状を変更すると、加群のホモトピー理論にどのような影響があり、どのような場合にそれらの圏がQuillen同値になるか。

主な発見

• 本稿は、小さな圏によってインデックスづけられた、異なるモデル圏からの対象の図式の圏に、図式射影的および図式射影的モデル構造を構築する。
• 図式形状の包含写像によって誘導される制限関手を通じて、図式圏間のQuillen随伴を確立する。
• 細胞化後に、導来関手が選択された細胞上で小さな対象と弱同値を保存する場合、これらのQuillen随伴はQuillen同値性に変わる。
• 主な応用として、環スプライスの図式上の加群の圏が、その図式のホモトピー逆極限上の加群の圏と細胞化を介してQuillen同値であることが示される。
• ハッセ正方形の例は条件を満たしており、ℚ、ℤ_p、およびそれらのテンソル積の図式上の加群は、細胞化後にℤ上の加群とQuillen同値である。
• この枠組みは、有理数的トーラス等変性安定ホモトピー論における先行結果を一般化し、安定ホモトピー圏の代数的モデルを体系的に構築するための手法を提供する。