[論文レビュー] Homotopy theory of monoids and derived localization

Joe Chuang, Julian J. Holstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、モノイド代数の導来局所化のバー代数的構成と、モノイドのネ载体の導来局所化の正規化チェーンコールゲブラの間で、導来同値性を確立し、離散的モノイドを用いた連結空間のホモトピー圏の新たな代数的モデルを提供する。主な貢献は、減少シンプレックス集合の∞-圏と、導来局所化されたモノイド代数の擬同値を用いて定義された弱同値を備えた離散的モノイドの∞-圏との同値性であり、連結ホモトピー型の完全な代数的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

We use derived localization of the bar and nerve constructions to provide simple proofs of a number of results in algebraic topology. This includes a recent generalization of Adams' cobar-construction to the non-simply connected case, and a new model for the homotopy theory of connected topological spaces using an infinity category of discrete monoids.

研究の動機と目的

• 離散的モノイドを用いて、連結位相空間のホモトピー圏の完全な代数的モデルを提供すること。
• 代数的トポロジーにおける導来局所化、バー構成、コバー構成の関係を明確化すること。
• アダムズのコバー構成やエスケーレートコバー構成の知られた結果を単純化および一般化すること。
• 減少シンプレックス集合の弱同値が、それらのチェーンコールゲブラの弱同値によって検出可能であることを示すこと。
• ∞-局所システムの導来圏が、シングルセットのチェーンコールゲブラのコドゥアル圏に完全に忠実に埋め込まれることを確立すること。

提案手法

• 微分付き代数の導来局所化を用いて、ホモトピー的不変な方法で要素を逆転する。
• モノイド代数の導来局所化にバー構成を適用し、dgコールゲブラを得る。
• モノイドのネルヴを∞-圏として構成し、1-射の部分集合で局所化する。
• 結果として得られるdgコールゲブラを、フィルター付き擬同値のズイーガの系列を用いて比較する。
• バー・コバー随伴とフィルター付き擬同値の性質を用いて、位相的および代数的構成を関連付ける。
• 導来局所化されたモノイド代数の擬同値を用いて、離散的モノイドの圏における弱同値を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結空間のホモトピー論は、離散的モノイド上の代数的構造によって完全に捉えられるか？
• RQ2 導来局所化は、非単純接続な状況下で、バー構成とコバー構成をどのように統合するか？
• RQ3 シングルセットのチェーンコールゲブラと、そのチェーンコールゲブラ上のコバー構成との間の正確な関係は何か？
• RQ4 ∞-局所システムの導来圏は、シングルセットのチェーンコールゲブラのコドゥアル圏の完全な部分圏か？
• RQ5 減少シングルセットの弱同値は、それらのモノイド代数を介して代数的に検出可能か？

主な発見

• dgコールゲブラ $ℓ\mathrm{B}\mathrm{L}_{W}\mathrm{C}(M)$ と $ℓ\mathrm{C}\mathrm{L}_{W}\mathrm{N}(M)$ は、フィルター付き擬同値のズイーガを介して弱同値である。
• 任意の減少シングルセット $K$ に対して、$K$ が群的である限り、$\mathrm{C}\mathrm{G}(K)$ と $\Omega\mathrm{C}(K)$ の間に弱同値が存在する。
• 任意の減少シングルセット $K$ に対して、$\mathrm{C}\mathrm{G}(K)$ は $\Omega\mathrm{C}(K)$ の局所化と擬同値であり、これはエスケーレートコバー構成を一般化する。
• コドゥアル圏 $\operatorname{D^{co}}(\mathrm{C}(K))$ は、$K$ 上の∞-局所システムの導来圏を完全な部分圏として含む。
• $K$ が群的であるとき、コドゥアル圏 $\operatorname{D^{co}}(\mathrm{C}(K))$ は、$K$ 上の∞-局所システムの導来圏と同値である。
• 導来局所化されたモノイド代数の擬同値を弱同値として定義する離散的モノイドの相対圏は、クイレンの弱同値を備えた減少シングルセットの相対圏と同値である。