[論文レビュー] Hopf modules for autonomous pseudomonoids and the monoidal centre

Ignacio López Franco|ArXiv.org|Oct 20, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、モノイダル2カテゴリ内の自己双対的擬モノイドへ、古典的なホフプルモジュール理論およびドリンフェルト双対の一般化を提供する。あるマップ擬モノイドがホフプルモジュール構成を許容するための必要十分条件は、それが左自己双対的であることであることが示され、このような擬モノイドのラックス中心が、イレンバーグ＝ムーア構成として得られることを確立している。さらに、擬モノイドが右自己双対的である場合、その中心はドリンフェルト双対と同値であることを示している。

ABSTRACT

In this work we develop some aspects of the theory of Hopf algebras to the context of autonomous map pseudomonoids. We concentrate in the Hopf modules and the Centre or Drinfel'd double. If $A$ is a map pseudomonoid in a monoidal bicategory \M, the analogue of the category of Hopf modules for $A$ is an Eilenberg-Moore construction for a certain monad in $\mathbf{Hom}(\M^{\mathrm{op}},\mathbf{Cat})$. We study the existence of the internalisation of this notion, called the Hopf module construction, by extending the completion under Eilenberg-Moore objects of a 2-category to a endo-homomorphism of tricategories on $\mathbf{Bicat}$. Our main result is the equivalence between the existence of a left dualization for $A$ ({\em i.e.}, $A$ is left autonomous) and the validity of an analogue of the structure theorem of Hopf modules. In this case the Hopf module construction for $A$ always exists. We use these results to study the lax centre of a left autonomous map pseudomonoid. We show that the lax centre is the Eilenberg-Moore construction for a certain monad on $A$ (one existing if the other does). If $A$ is also right autonomous, then the lax centre equals the centre. We look at the examples of the bicategories of \V-modules and of comodules in \V, and obtain the Drinfel'd double of a coquasi-Hopf algebra $H$ as the centre of $H$.

研究の動機と目的

• ホフプルモジュール理論およびドリンフェルト双対の理論を、モノイダル2カテゴリ内の自己双対的擬モノイドというより広い文脈へ拡張すること。
• 双対化と反対元の役割を明確化するため、ホフプルモジュールの構造定理を特徴づけるのは反対元ではなく左自己双対性であることを示すこと。
• イレンバーグ＝ムーア構成を用いて、擬モノイドのラックス中心のカテゴリ的枠組みを確立し、中間のイェッター＝ドリンフェルトモジュールを避けること。
• 有限次元のコクワイアホフプ代数のドリンフェルト双対が、適切な圏上のコモジュールの2カテゴリにおける擬モノイドの中心として現れることを示すこと。

提案手法

• モノイダル2カテゴリ $\mathscr{M}$ 内のマップ擬モノイド $A$ に対して、$\mathbf{Hom}(\mathscr{M}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Cat})$ 内のモノイドに対するイレンバーグ＝ムーア構成としてホフプルモジュールを定義する。
• このイレンバーグ＝ムーア対象の内部化としてホフプルモジュール構成を導入し、モノイドが $[A, A]$ 上で表現可能である必要があることを要請する。
• イレンバーグ＝ムーア対象の完備化を用いて、2カテゴリの構成を $\mathbf{Bicat}$ 上の3カテゴリ的ホモオーモルフィズムへ拡張し、存在条件の研究を可能にする。
• ホフプルモジュール構成を支配するモノイドがオプモノイド的であることを示し、$\mathscr{M}$ が右閉または右自己双対的であれば、構造を内部化できることを示す。
• 左自己双対的マップ擬モノイドのラックス中心を $A$ 上の特定のモノイドに対するイレンバーグ＝ムーア構成として特徴づけ、ホフプルモジュール構成の存在と一致することを証明する。
• この枠組みを $\mathscr{V}\text{-}\mathbf{Mod}$ および $\mathbf{Comod}(\mathscr{V})$ に適用し、コクワイアホフプ代数のドリンフェルト双対が $H$ の中心として回復されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マップ擬モノイド $A$ がモノイダル2カテゴリ $\mathscr{M}$ 内にあるとき、ホフプルモジュール構成が存在する条件は何か？
• RQ2 $A$ に対する左双対化の存在は、ホフプルモジュールの構造定理の妥当性とどのように関係しているか？
• RQ3 左自己双対的マップ擬モノイドのラックス中心は、イレンバーグ＝ムーア構成として特徴づけられるか？
• RQ4 左および右自己双対的マップ擬モノイドの中心は、その擬モノイドのドリンフェルト双対と同値か？
• RQ5 $\mathbf{Comod}(\mathbf{Vect})$ 内のコクワイアホフプ代数の中心は、そのドリンフェルト双対とどのように関係しているか？

主な発見

• マップ擬モノイド $A$ が左自己双対的であることと、$A$ に対してホフプルモジュールの定理が成り立つこと（つまり、右 $A$-コモジュールから $A$-ホフプルモジュールへの自然な函手が同値であること）とは同値である。
• ホフプルモジュール構成が $A$ に対して存在するための必要十分条件は、$A$ が左自己双対的であることであり、この場合、構成の対象部は $A$ と同値である。
• 左自己双対的マップ擬モノイドのラックス中心は、$A$ 上の特定のモノイドに対するイレンバーグ＝ムーア対象と同型であり、この構成が存在するのはホフプルモジュール構成が存在する場合に限る。
• $A$ が右自己双対的である場合、ラックス中心は $A$ の中心と一致し、中心はドリンフェルト双対 $D(A)$ とモノイド同値である。
• 有限次元のコクワイアホフプ代数 $H$ に対して、ドリンフェルト双対 $D(H)$ は、$H^{\tilde{s}^*}$ と同型であり、これは $\mathbf{Comod}(\mathbf{Vect})$ 内の $H$ の中心である。この同型はコモジュール圏の同値により与えられる。
• $\mathrm{Comod}_f: \mathbf{Comon}(\mathbf{Vect}) \to \mathbf{Vect}_f\text{-}\mathrm{Act}/\mathbf{Vect}_f$ は双方向に完全忠実であり、これにより $H^{\tilde{s}^*}$ と $D(H)$ が $\mathbf{Comod}(\mathbf{Vect})$ 内の同型のコアルゲブラとして再構成可能である。