[論文レビュー] How to smooth a crinkled map of spacetime: Uhlenbeck compactness for $L^\infty$ connections and optimal regularity for general relativistic shock waves by the Reintjes-Temple-equations

Moritz Reintjes, Blake Temple|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論におけるショック波における正則性特異性が座標の選び方に起因するものかどうかを解明するための、L^∞接続をそのリーマン曲率テンソルよりも1階高い正則性に滑らかにする非線形楕円型偏微分方程式系、Reintjes-Temple（RT）方程式を導入する。RT方程式のL^pに基づく存在理論を確立することで、著者らはリーマン幾何学に限界なく成立していたUhlenbeckコンパクト性をローレンツ幾何学へ拡張し、弱解のEinstein-Euler方程式に対して最良の正則性を達成する座標変換によって、一般相対性理論のショック波における正則性特異性が除去可能であることを証明する。

ABSTRACT

We present authors' new theory of the RT-equations, nonlinear elliptic partial differential equations which determine the coordinate transformations which smooth connections $Γ$ to optimal regularity, one derivative smoother than the Riemann curvature tensor ${ m Riem}(Γ)$. As one application we extend Uhlenbeck compactness from Riemannian to Lorentzian geometry; and as another application we establish that regularity singularities at GR shock waves can always be removed by coordinate transformation. This is based on establishing a general multi-dimensional existence theory for the RT-equations, by application of elliptic regularity theory in $L^p$ spaces. The theory and results announced in this paper apply to arbitrary $L^\infty$ connections on the tangent bundle $T\mathcal{M}$ of arbitrary manifolds $\mathcal{M}$, including Lorentzian manifolds of General Relativity.

研究の動機と目的

• 時空接続における非最良正則性（特に一般相対性理論のショック波におけるもの）が物理的特異性であるのか、それとも座標の選び方に起因するものなのかという根本的問題を解決すること。
• 元来リーマン幾何学に限界なく成立していたUhlenbeckコンパクト性を、座標変換フレームワークを構築することでローレンツ多様体へ拡張すること。
• RT方程式の一般存在理論をL^p空間に確立し、接続がその曲率よりも1階高い正則性を持つ座標系の構成を可能とすること。
• 一般相対性理論のショック波における正則性特異性が物理的ものではなく、座標変換によって除去可能であることを示し、局所的慣性構造を回復すること。

提案手法

• RT方程式は、任意の多様体（ローレンツ時空を含む）上で接続の最良正則性を達成する座標変換を支配する非線形楕円型偏微分方程式系として導出される。
• この手法は、ユークリッド的外微分形式代数（Cartan代数）に依拠しており、計量の符号にかかわらず楕円型性を保証するため、リーマン幾何学およびローレンツ幾何学への応用が可能である。
• 標準的なL^pにおける楕円型正則性理論（p > n）を用いて、W^{m,p}およびL^∞空間における反復的スキームにより解の存在が証明される。
• この手法により、RT方程式を解くことで接続を滑らかにする数値的アルゴリズムが構築され、正則性の1階上昇を実現する構成的手段が得られる。
• 理論は物質内容、対称性、計量の符号に依存しないため、任意の多様体の接続 bundle 上のL^∞接続に普遍的に適用可能である。
• 本フレームワークは、双曲型進化や調和ゲージに依存せず、代わりに楕円型のソース項正則化を用いて正則性を抽出するため、従来のコーシー問題の手法とは対照的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論のショック波における正則性特異性は、座標変換によって除去可能か、それとも時空幾何学固有のものか？
• RQ2 リーマン幾何学に限界なく成立していたUhlenbeckコンパクト性は、一般相対性理論のローレンツ多様体に対しても拡張可能か？
• RQ3 接続の曲率よりも1階高い正則性に滑らかにする非線形楕円型系に対して、一般存在理論を確立可能か？
• RQ4 L^∞接続が曲率に対してはL^∞正則性しか持たない場合でも、W^{1,p}正則性を持つ座標系を構成可能か？
• RQ5 RT方程式は、Einstein-Euler方程式の弱解に対して最良正則性を達成するための構成的・アルゴリズム的手段を提供可能か？

主な発見

• $\Gamma, \mathrm{Riem}(\Gamma) \in W^{m,p}$ かつ $m \geq 1$, $p > n$ のとき、RT方程式の解が存在し、$W^{m+2,p}$正則性の座標変換をもたらし、$\Gamma$ を $W^{m+1,p}$ 正則性に滑らかにする。
• $\Gamma, \mathrm{Riem}(\Gamma) \in L^\infty$ のとき、任意の $p > n$ に対して、RT方程式の解が $W^{2,2p}$ に存在し、$\Gamma$ が $W^{1,p}$ 正則性を達成する。これにより最良正則性が達成される。
• RT方程式は計量の符号にかかわらず楕円型であり、半リーマン多様体（ローレンツ時空を含む）への楕円型正則性理論の拡張が可能である。
• 一般相対性理論のショック波における正則性特異性は物理的特異性ではなく、座標選択の結果である。座標変換により除去可能である。
• この結果により、Glimmスキームによって構成されたEinstein-Euler方程式の弱解が、従来の知られていたよりも1階高い正則性を示すことが示唆され、測地線の存在および局所的慣性系の構成に十分である。
• 理論は反復スキームに基づく構成的アルゴリズムを提供し、任意のL^\infty接続に対して最良座標系を計算する実用的手法を提供する。