[論文レビュー] How to Sum and Exponentiate Hamiltonians in ZXW Calculus

Razin A. Shaikh, Quanlong Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2022

Quantum Mechanics and Applications参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ZXW計算におけるハミルトニアンの和集合および指数関数化のフレームワークを導入し、量子ダイナミクスの図式的推論を可能にする。W-スパイダーを導入したZX計算の拡張と、Cayley-Hamiltonの定理の活用により、任意のハミルトニアン、テイラー展開、トロッターズ化された時間発展演算子の直接的表現が可能となり、正確かつ近似的なユニタリ時間発展演算の図式を、量子化学や強縮性物質物理学への応用を想定した量子回路に再書き換え可能となる。

ABSTRACT

This paper develops practical summation techniques in ZXW calculus to reason about quantum dynamics, such as unitary time evolution. First we give a direct representation of a wide class of sums of linear operators, including arbitrary qubits Hamiltonians, in ZXW calculus. As an application, we demonstrate the linearity of the Schroedinger equation and give a diagrammatic representation of the Hamiltonian in Greene-Diniz et al, which is the first paper that models carbon capture using quantum computing. We then use the Cayley-Hamilton theorem to show in principle how to exponentiate arbitrary qubits Hamiltonians in ZXW calculus. Finally, we develop practical techniques and show how to do Taylor expansion and Trotterization diagrammatically for Hamiltonian simulation. This sets up the framework for using ZXW calculus to the problems in quantum chemistry and condensed matter physics.

研究の動機と目的

• 量子シミュレーションにおけるハミルトニアンを含む線形演算子を表すZX図式の効率的和集合手法の欠如に応えること。
• 実世界の問題（例：炭素回収）に由来するハミルトニアンを含む、任意のハミルトニアンをパウリ演算子の和として直接的図式表現可能にすること。
• ZXW計算内でのテイラー展開およびトロッターズ化を用いたハミルトニアン指数関数化の実用的メソッドの開発。
• 図式的ユニタリ時間発展演算を基盤として、ZXW計算を量子化学および強縮性物質物理学に応用する基盤を構築すること。
• 再書き換え規則を用いて、ハミルトニアン時間発展演算の図式を実行可能な量子回路に変換可能にすること。

提案手法

• W-スパイダーを導入したZXW計算を、行列およびベクトルの和集合のコン pact かつ効率的な表現を可能とするZX計算の拡張として導入する。
• 制御状態および変更された生成子を用いて、線形演算子の和集合（特に任意のキュービットハミルトニアンを含む）を直接表現する。
• Cayley-Hamiltonの定理を応用し、ハミルトニアンの指数関数をHの多項式として表現することで、正確な図式的指数関数化を実現する。
• 級数を切り捨てることで指数写像のテイラー展開を実装し、各項を係数を伴うZXW図式として表現する。
• 非可換ハミルトニアンを順次時間発展演算子に分解するため、Trotter-Suzuki公式を用い、完全な発展演算を近似する。
• 既存のZXW再書き換え規則を活用し、得られた図式を簡略化・変換し、物理的量子回路に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の線形演算子（ハミルトニアンを含む）の和集合が、ZXWのような図式的計算体系でどのように効率的に表現可能か。
• RQ2 Cayley-Hamiltonの定理を用いて、ZXW計算内でのハミルトニアンの正確な図式的指数関数を構築可能か。
• RQ3 テイラー展開およびトロッターズ化が、ZXWフレームワーク内でどのように形式化され、近似的なハミルトニアンシミュレーションに応用可能か。
• RQ4 ZXW計算を用いて、量子化学に現れるような現実的ハミルトニアン（例：時間発展演算子）の量子回路を導出可能か。
• RQ5 ZXW計算における加法、指数関数、微分の演算が、行列代数の直感的構造をどの程度保持するか。

主な発見

• 本稿は、2m×2m行列および2m次元ベクトルの任意の和集合を、ZXW計算で直接的図式表現可能であり、シュレーディンガー方程式の線形性推論を可能にする。
• Greene-Dinizら[13]が用いた炭素回収のためのハミルトニアンの図式的表現を初めて提示し、実際の量子化学問題への適用可能性を検証した。
• Cayley-Hamiltonの定理を用いて、任意のハミルトニアンの指数関数をHの多項式として正確に図式化したが、係数の計算は指数的コストを要する。
• 時間発展演算子のテイラー展開は、級数の各項に対応する係数を有する有限和のZXW図式として実装され、低次の近似が可能となった。
• トロッターズ化は、ハミルトニアンを可換な項に分解し、Trotter-Suzuki公式を適用することで実装され、図式は全発展演算のO(t²/n)誤差で近似する。
• 本稿は、ハミルトニアン指数関数図式から物理的量子回路への完全な再書き換えパスを示した（例7.1）。ZXW規則を用いて、パラメータ化された単一および双キュービットゲート分解を導出した。