[論文レビュー] HQET heavy-heavy vertex diagram with two velocities

Andrey Grozin, A. V. Kotikov|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、二つの異なるクォーク速度と任意のプロパゲーターのべき乗を持つ重味クォーク効果理論（HQET）における1ループ重い-重い頂点図の完全な解析的評価を提示する。フェルミー変数のパラメトライゼーションと超幾何関数の恒等式を用いて、Lauricella関数および超幾何関数の形で正確な表現を導出し、次元正則化における$\mathcal{O}(\varepsilon^2)$まで明示的な展開を提供する。これにより、HQETにおける異常次元および相関関数の体系的なフレームワークが得られる。

ABSTRACT

The one-loop HQET heavy-heavy vertex diagram with arbitrary powers of all three denominators and arbitrary residual energies is investigated. Various particular cases in which the result becomes simpler are considered.

研究の動機と目的

• 分母の任意のべき乗と二つの異なるクォーク速度を持つ1ループHQET重い-重い頂点図を計算すること。
• 特にLauricella関数および超幾何関数を用いた特殊関数の形で、図の正確な解析的表現を導出すること。
• $\varepsilon$次元正則化における$\mathcal{O}(\varepsilon^2)$までの明示的展開を提供し、異常次元や相関関数といった物理的応用に役立てる。
• 既存の文献における不一致を解消し、$n_1=n_2=n_3=1$の積分の正しい形を明確にし、既知の結果と比較すること。

提案手法

• 図は2パラメータのフェルミー変数のパラメトライゼーションで表現され、運動量積分が$x \in [0,1]$における1次元積分に簡略化される。
• 得られた積分はLauricella関数$F_D$として特定され、特殊関数の形で正確な解析的評価が可能になる。
• 次元$d$を$\pm 2$ずつずらすことは、$n_3$を$\pm 1$ずつずらすことに等しいという恒等式を用いることで、$\varepsilon$-展開の簡略化が図られる。
• $\varepsilon$-展開はHypExpパッケージを用いて計算され、多変数ポリログラムおよび多重ポリログラムの形で表現される。
• Gegenbauer多項式への展開を得るために、オイラー継続（$\vartheta = i\vartheta_E$）が用いられ、級数表現が導出される。
• 結果は、$\omega_1 = \omega_2$、$\omega_1=0$、$n_1=n_2=1$といった既知のケースと照合され、一貫性が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分母の3つのプロパゲーターの任意のべき乗と二つの異なるクォーク速度を持つ1ループHQET重い-重い頂点図の正確な解析的形は何か？
• RQ2 $\varepsilon$次元正則化において、$\mathcal{O}(\varepsilon^2)$までどのように体系的に展開できるか？
• RQ3 一般および極限ケースにおいて、図がLauricella関数やAppell関数といった既知の特殊関数に簡約可能か？
• RQ4 一部の先行研究（例：K:09）が不整合を示すのはなぜか？関係する積分の正しい解釈は何か？
• RQ5 $n_1=n_2=n_3=1$および$\omega_1=\omega_2$の場合に、結果は既知の式とどのように一致するか？

主な発見

• 一般の1ループ頂点図は、正確にLauricella関数$F_D$として表現され、ミンコフスキー角$\vartheta$、残存エネルギー$\omega_1, \omega_2$、およびべき乗$n_1, n_2, n_3$に依存する。
• $n_1 = n_2 = 1$の場合、図はディログラムおよびトリログラムを含む簡潔な形に簡約され、式(32)に明示的に示されている。
• $n_1=n_2=n_3=1$の$\mathcal{O}(\varepsilon^0)$項は、B:00の既知の結果を再現し、手法の妥当性を検証する。
• $\mathcal{O}(\varepsilon)$および$\mathcal{O}(\varepsilon^2)$の補正項は、調和ポリログラムおよび多重ポリログラムの形で導出され、式(35)〜(38)に明示的な表現が与えられる。
• 単一スケールの場合$\omega_1 = \omega_2$では、$F_1$超幾何関数の形で驚くほど簡潔な式（24）が得られる。
• 本稿は、先行文献における不整合を解消し、特にK:09における一部の式が次元の不一致と誤った積分定義により不整合を示していることを明らかにした。