[論文レビュー] Hyperbolicity of Generic High-Degree Hypersurfaces in Complex Projective Space

Yum-Tong Siu|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2012

Meromorphic and Entire Functions参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかなベクトル場と低極位数の有理型ジェット微分形式を用いて、制御された零点性質を持つ全純ジェット微分形式を構成することにより、複素射影空間内の一般の高次元超曲面の双曲性を確立する。主な結果は、次元に依存する明示的な閾値を超える次数の超曲面については、それらの超曲面またはその補集合へは非自明な全純整関数写像が存在しないことである。

ABSTRACT

We use two ingredients to prove the hyperbolicity of generic hypersurfaces of sufficiently high degree and of their complements in the complex projective space. One is the pullbacks of appropriate low pole order meromorphic jet differentials on the complex projective space to a hypersurface. The other is slanted vector fields of low vertical pole order on the vertical jet space of the universal hypersurface. We also present a number of related results, obtained by the same methods, such as: (i) a Big-Picard-Theorem type statement concerning extendibility, across the puncture, of holomorphic maps from a punctured disk to a generic hypersurface of high degree, (ii) nonexistence of nontrivial sets of entire functions satisfying certain polynomial equations with slowly varying coefficients, and (iii) Second Main Theorems for jet differentials and slowly moving targets.

研究の動機と目的

• 次元 n ≥ 3 の複素射影空間内の十分に高い次数の一般超曲面の双曲性を確立すること。
• n ≥ 2 に対して、このような超曲面の補集合に対しても同様の結果を拡張すること。
• 全純曲線の非存在を示すために、スラントベクトル場とジェット微分形式に基づく手法を開発すること。
• 係数の変動や移動標的を含む一般化を図り、ジェット微分形式に対する第二主定理を導出すること。
• Blochの1926年の研究にインspiredされた線形代数および微分技術を用いて、双曲性の構成的証明を提供すること。

提案手法

• ユニバーサル超曲面の垂直ジェット空間にスラントベクトル場を構成し、ジェット微分形式の挙動を制御する。
• CP^n 上の低極位数（大きさ δ^{1−ε}）の有理型ジェット微分形式を用い、それを超曲面 X に引き戻す。
• ジェット微分形式の引き戻し写像の単射性（補題3.4）を適用し、引き戻しの間に十分な線形独立性を保証する。
• X 上の非自明な全純ジェット微分形式を、引き戻しの C-線形結合として、X のアメーブル除集合上で消失する形で構成する（命題3.8）。
• スラントベクトル場の技術を用いて、全純写像が定数であることを強制する消失恒等式を導出する。
• 遅く変動する標的を伴う対象に対して、ネヴァンリンナ理論と第二主定理の議論を、対数的極位数を持つジェット微分形式に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの程度の次数 δ ≥ δ_n に対して、一般の超曲面 X ⊂ ℙ_n が双曲的であるか、すなわち ℂ からの非自明な全純写像をもたないか？
• RQ2 十分に高い次数の一般超曲面に対して、その補集合 ℙ_n − X の双曲性は確立可能か？
• RQ3 CP^n からの有理型ジェット微分形式の引き戻しを用いて、高次元超曲面上に explicitly なジェット微分形式をどのように構成できるか？
• RQ4 スラントベクトル場は、全純曲線を妨げるジェット微分形式の消失恒等式を生成する際に果たす役割は何か？
• RQ5 係数の変動や移動標的を含む文脈において、ジェット微分形式に対する第二主定理をどのように定式化できるか？

主な発見

• 各 n ≥ 3 に対して、明示的な閾値 δ_n が存在し、ℙ_n 内の次数 δ ≥ δ_n の一般超曲面は双曲的である。これは、ℂ からの非自明な全純写像をもたないことを意味する。
• 各 n ≥ 2 に対して、明示的な閾値 δ_n^* が存在し、ℙ_n 内の次数 δ ≥ δ_n^* の一般超曲面の補集合に対しても双曲的である。
• X 上の全純ジェット微分形式の構成は、CP^n からの低極位数の有理型ジェット微分形式の引き戻しに依存しており、引き戻し写像の単射性が十分な線形独立性を保証する。
• X 上の非自明な全純ジェット微分形式は、引き戻しの C-線形結合として、X のアメーブル除集合上で消失する形で得られ、消失の議論に利用可能である。
• 本手法は、遅く変動する標的を伴うジェット微分形式に対する第二主定理へと一般化可能であり、近接関数が計数関数に下位項を除いて支配される。
• 本手法により、極の制御されたジェット微分形式のワロンスキー式構成を通じて、一般位置にある超平面に対するカルタンの第二主定理が特別な場合として回復される。