[論文レビュー] Hyperelliptic Curves with Maximal Galois Action on the Torsion Points of their Jacobians

Aaron Landesman, Ashvin Swaminathan+2 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、4つの標準的なハイパーオンリック曲線の族において、密度1の部分集合の曲線が、アデール的ガロア表現がシンプレクティック群内で最大である、つまり torsion 点上のガロア表現が可能な限り大きく、そのようなヤコビアンを持つことを確立している。この論文は、ℚ 上でアデール的ガロア画像が最大である、明示的な genus-2 および genus-3 のハイパーオンリック曲線を提供しており、これらの genus における文献の空白を埋め、mod-ℓ モノドロミーに関する結果を全アデール的設定へと拡張している。

ABSTRACT

In this article, we show that in each of four standard families of hyperelliptic curves, there is a density-$1$ subset of members with the property that their Jacobians have adelic Galois representation with image as large as possible. This result constitutes an explicit application of a general theorem on arbitrary rational families of abelian varieties to the case of families of Jacobians of hyperelliptic curves. Furthermore, we provide explicit examples of hyperelliptic curves of genus $2$ and $3$ over $\mathbb Q$ whose Jacobians have such maximal adelic Galois representations.

研究の動機と目的

• 4つの標準的族に属するハイパーオンリック曲線の密度1の部分集合が、アデール的ガロア画像が最大であるヤコビアンを持つことを確立すること。
• ℚ 上でアデール的ガロア画像が最大である明示的な genus-2 および genus-3 のハイパーオンリック曲線を提供すること。
• ハイパーオンリック曲線において、特に以前は未知であった状況において、mod-ℓ ガロアモノドロミーに関する結果を全アデール的設定へと拡張すること。
• 文献における空白を埋めるために、最大アデール的画像が以前に知られていなかった genus 2 および 3 における明示的な例を構成すること。
• ハイパーオンリック曲線モノドロミーにおいて、mod-2 全射性が 2-進全射性を意味することを予想することにより、アデール的最大性の確認を単純化すること。

提案手法

• 著者たちは、[LSTX19] に記載された一般定理（有理数族のアーベル多様体に関するもの）をハイパーオンリック曲線ヤコビアンの族に適用し、曲線の密度1の部分集合に対してアデール的ガロア画像が可能な限り大きいことを証明した。
• すべての素数 ℓ に対して、mod-ℓ ガロア画像が全シンプレクティック群 Sp_{2g}(Z/ℓZ) に一致することを確認することで、アデール的最大性条件を検証した。この確認には、[AD17] および [Zyw10b] の基準が用いられた。
• 各素数 ℓ に対して、[AD17] の基準を用いて、mod-ℓ ガロア画像内にトランスベクションが存在することを確認した。これにより、画像が放物型部分群に含まれないことが保証された。
• Magma および Mathematica を用いて、さまざまな素数を法とするフロベニウス作用素の特性多項式を計算し、命題 4.4 の条件 (B) および (C) を検証した。これにより、全シンプレクティック画像が保証された。
• 定義多項式 f(x) の判別式を明示的に計算し、それが有限個の素因数しか持たないことを確認した。これは、チェボタレフ型の議論により、密度1の主張を支持する。
• 著者たちは、mod-2 全射性が S_{2g+2} に値するならば、ある予想のもとで 2-進全射性が導かれる、と証明した。これにより、アデール的最大性の確認が、ℓ ≥ 3 に対する mod-ℓ 全射性の確認に帰着される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℚ 上に、ヤコビアンのアデール的ガロア画像が最大である genus 2 および 3 のハイパーオンリック曲線が存在するか？
• RQ2 有理数族のアーベル多様体に関する一般定理を、標準的族に属するハイパーオンリック曲線の密度1の部分集合が最大アデール的ガロア画像を持つことを示すために適用できるか？
• RQ3 ハイパーオンリック曲線ヤコビアンにおいて、mod-2 ガロアモノドロミーが S_{2g+2} に全射であることは、2-進全射性を意味するか？
• RQ4 このような曲線の明示的例を構成し、計算的に検証できるか？
• RQ5 先行例（例えば、[Die02], [ALS16]）では mod-2 画像が最大でないことが確認されているが、これは全アデール的最大性を妨げるのか？ それとも、これを克服できるか？

主な発見

• この論文は、ℚ 上でアデール的ガロア画像が GSp_{2g}(Ẑ) に等しい、明示的な genus-2 および genus-3 のハイパーオンリック曲線を構成しており、これは可能な限り大きな画像を達成している。
• 4つの標準的族に属するハイパーオンリック曲線のうち、密度1の部分集合が、ヤコビアンのアデール的ガロア画像が最大であることを示し、楕円曲線の結果を高次元に一般化した。
• genus-3 例の定義多項式 f(x) の判別式は、小さな素数の高次の積といくつかの大きな素数の積として計算され、有限個の悪い素数を持つことが確認された。
• genus-3 例の mod-2 ガロア画像は S_8 であることが示され、予想 5.1 のもとでは、これが 2-進全射性を意味する。
• すべての素数 ℓ ≠ 3,5,7,13,17,19 に対して、mod-ℓ ガロア画像は全 Sp_6(Z/ℓZ) に一致し、残りの素数については特性多項式による明示的検証により、全画像が確認された。
• この論文は、mod-2 モノドロミーが S_{2g+2} であり、かつすべての ℓ ≥ 3 に対して mod-ℓ モノドロミーが全 Sp_{2g}(Z/ℓZ) であるならば、アデール的画像が最大であることを証明した。ただし、予想 5.1 を仮定する。