[論文レビュー] Hyperkahler analogues of Kahler quotients

Nicholas James Proudfoot|ArXiv.org|May 12, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、コンpact群作用を伴う複素ベクトル空間の余接 bundle から超ケーラー商を構成することにより、ケーラー商の超ケーラー的類似を導入する。円作用に可換なコホロジーと積分を用いて、マーチンの定理の超ケーラー的類似を確立し、キーバー多様体およびハイパートーリック多様体のコホロジー環の計算を可能にする。超ケーラー多様体のコアは、元のケーラー商を成分として含む。

ABSTRACT

Let X be a Kahler manifold that is presented as a Kahler quotient of C^n by the linear action of a compact group G. We define the hyperkahler analogue M of X as a hyperkahler quotient of the cotangent bundle T^*C^n by the induced G-action. Special instances of this construction include hypertoric varieties and quiver varieties. Our aim is to provide a unified treatment of these two previously studied examples, with specific attention to the geometry and topology of the circle action on M that descends from the scalar action on the fibers of the cotangent bundle. We provide a detailed study of this action in the cases where M is a hypertoric variety or a hyperpolygon space. Most of this document consists of material from the papers math.DG/0207012, math.AG/0308218, and math.SG/0310141. Sections 2.2 and 3.5 contain previously unannounced results.

研究の動機と目的

• ハイパートーリック多様体とキーバー多様体を、ケーラー商の超ケーラー的類似として統一的に取り扱うこと。
• T*ℂⁿ 上での超ケーラー還元を用いて、ケーラー商 X の超ケーラー的類似 M を定義すること。
• 適切なモーメント写像を備えた円作用を用いて、M の円作用に可換なコホロジーにおける積分理論を構築すること。
• ケーラー商のコホロジーをその最大トーラス商によって記述する、マーチンの定理の超ケーラー的類似を証明すること。
• すべてのキーバー多様体を含む、超ケーラー的類似の等変コホロジー環の計算手法を提供すること。

提案手法

• G による T*ℂⁿ の超ケーラー商として M を構成し、μ₁⁻¹(α) ∩ μ₂⁻¹(0) ∩ μ₃⁻¹(0) / G で定義する。
• T*ℂⁿ 上の ℂ×-作用を用いて M 上に円作用を定義し、非コンパクト性を適切に制御するための適切なモーメント写像を保証する。
• M のコアを、コンパクトかつ還元可能な部分多様体に deformation retract させるものとして定義し、そのうちの1つの成分が元のケーラー商 X に同型であることを示す。
• アティヤ＝ボットおよびバウム＝ブリリニスキにインspired な局所化技法を用いて、円作用に可換なコホロジーにおける積分を定義する。
• 超ケーラーアーベル化定理を用いて、M のコホロジーとその最大トーラス商のコホロジーを関連付ける。
• 特にハイパートーリック多様体に対しては、オリック＝ソロモン代数とコジェネレータを用いて等変コホロジー環を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパートーリック多様体とキーバー多様体は、どのようにしてケーラー商の超ケーラー的類似として統一的に理解できるか？
• RQ2 超ケーラー的類似 M のコアの構造は何か？ そして、元のケーラー商 X とどのように関係しているか？
• RQ3 適切なモーメント写像を備えた超ケーラー商に対して、円作用に可換なコホロジーにおける積分理論を構築できるか？
• RQ4 ケーラー商のコホロジーをその最大トーラス商によって記述する、マーチンの定理の超ケーラー的類似は成立するか？
• RQ5 特にキーバー多様体に対して、超ケーラー的類似の等変コホロジー環の明示的構造は何か？

主な発見

• 超ケーラー的類似 M は、T*X を稠密な開部分集合として含む完全な超ケーラー多様体である。
• M のコアは、コンパクトかつ還元可能な部分多様体であり、円作用による deformation retract を持つ。
• コアのうちの1つの成分は、元のケーラー商 X に同型である。
• 本稿では、ケーラー商のコホロジーをその最大トーラス商によって記述する、マーチンの定理の超ケーラー的類似を証明した。
• ハイパートーリック多様体に対しては、オリック＝ソロモン代数とコジェネレータを用いて等変コホロジー環が計算され、短い部分集合によってインデックス付けされた基底が得られる。
• M のコア成分のコホロジー環は明示的に記述されており、例として U_S が ℂP^{n-3} に同型、または ℂP² の点での吹き上げに同型である例が示されている。