[論文レビュー] I - Conservation of Gravitational Energy-Momentum and Inner Diffeomorphism Group Gauge Invariance

C. Wiesendanger|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2011

Relativity and Gravitational Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、内部ミンコフスキー空間上の非コンパactsかつ体積保存性をもつ微分同相群の局所的内部微分同相不変性に基づく、重力の新規ゲージ場理論を提案する。これにより保存則を満たす重力のエネルギー運動量テンソルが得られる。時空の並進対称性とは異なる内部並進対称性をゲージ化することにより、正定値ハミルトニアンを有する、再正則化可能で漸近的自由な量子場理論が構築され、一般相対性理論の代替案として、一貫した量子化が可能である可能性を示唆する。

ABSTRACT

Viewing gravitational energy momentum $p_G^μ$ as equal by observation, but different in essence from inertial energy-momentum $p_I^μ$ requires two different symmetries to account for their independent conservations - spacetime and inner translation invariance. Gauging the latter a generalization of non-Abelian gauge theories of compact Lie groups is developed resulting in the gauge theory of the non-compact group of volume-preserving diffeomorphisms of an inner Minkowski space ${\bf M}^{\sl 4}$. As usual the gauging requires the introduction of a covariant derivative, a gauge field and a field strength operator. An invariant and minimal gauge field Lagrangian is derived. The classical field dynamics and the conservation laws for the new gauge theory are developed. Finally, the theory's Hamiltonian in the axial gauge is expressed by two times six unconstrained independent canonical variables obeying the usual Poisson brackets and the positivity of the Hamiltonian is related to a condition on the support of the gauge fields.

研究の動機と目的

• 慣性的質量と重力的質量の観測的数値的等価性に着目し、慣性的エネルギー運動量とは独立して保存則を満たす重力的エネルギー運動量を有する場の理論的枠組みを構築すること。
• 一般相対性理論の再正則化不可能性を克服するため、内部ミンコフスキー空間における体積保存微分同相のゲージ対称性に基づく、新しい古典的および量子的重力場理論を構築すること。
• ハミルトニアンの正定値性を保証し、経路積分による量子化を可能にする、最小限で不変なゲージラグランジアンおよびハミルトニアン力学を導出すること。
• 新理論がニュートン的極限で古典的重力と一致することを示し、量子場理論における1ループオーダーで再正則化可能であることを確認すること。

提案手法

• 座標 X^α を持つ内部ミンコフスキー空間 M⁴ を導入し、非コンパクトかつ体積保存性をもつ微分同相群 Diff(M⁴) をゲージ群とする。
• 内部並進対称性にゲージ原理を適用し、共変微分、ゲージ場 A_α^a、および非アーベルゲージ理論に類似した場強度 F_αβ^a を導入する。
• スケールパラメータ Λ を用いて発散を正則化するトレース演算子を定義し、これにより非コンパクトな内部空間上で定義される最小限で不変なゲージラグランジアンを構成する。
• 時空および内部対称性の両方に対する場の運動方程式とネーターのカレント（特にゲージ場のエネルギー運動量テンソル）を導出する。
• 内部空間でデカルト座標を用いた軸形式ゲージにおいてハミルトニアンを定式化し、標準的なポアソン括弧を持つ2組の6つの自由度を持つ非制約正準変数に還元する。
• 内部運動量空間における前方および後方光円錐上にフーリエ変換されたゲージ場が支持されている制限を課すことにより、ハミルトニアンの正定値性を分析し、物理的整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 慣性的エネルギー運動量とは別個のグローバル対称性から得られる、重力的エネルギー運動量を独立した保存カレントとして一貫して保存させることは可能か？
• RQ2 非コンパクトな内部ミンコフスキー空間上の内部微分同相群をゲージ化することで、重力のゲージ理論をどのように構築できるか？
• RQ3 非コンパクトな内部空間と発散するトレース演算子を有するゲージ理論において、ハミルトニアンの正定値性を保証する条件は何か？
• RQ4 得られた理論は古典的極限でニュートン的重力とどのように一致するか？
• RQ5 このゲージ理論の量子版は、1ループオーダーで再正則化可能かつ漸近的自由であるか？

主な発見

• ネーターの定理により、グローバル内部並進不変性から得られる、p_G^μ としての保存則を満たす重力的エネルギー運動量テンソルが構築され、これは時空並進不変性とは明確に区別される。
• スケールパラメータ Λ を用いた正則化されたトレース演算子を用いることで、グローバル内部スケール不変性のもとで一貫性を保証する最小限で不変なゲージラグランジアンが導出された。
• 場の運動方程式は内部計量 g に依存しないことから、局所的内部微分同相不変性が確認された。
• 内部運動量空間におけるフーリエ変換されたゲージ場が前方および後方光円錐上にのみ支持されている場合、ハミルトニアンは正定値である。
• 古典的力学は、標準的なポアソン括弧を持つ2組の6つの自由度を持つ非制約正準変数の言語に再定式化され、一貫した量子化が可能となった。
• 理論は再正則化可能で漸近的自由な量子場理論の候補であることが示され、古典的重力はニュートン的極限で出現する。