[論文レビュー] Idempotents in triangulated monoidal categories

Matthew Hogancamp|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、三角的モノイダル圏における冪等元の理論を展開し、補完的冪等元とその自己準同型代数を導入する。Tate対象に関連する冪等元の双対対のホモロジー空間 $\langle\mathbf{T},\mathbf{T}\rangle$ が $\langle\mathbf{U},\mathbf{C}[1]\rangle$ に同型であることを確立し、接続準同型を介して単位的代数構造を備えることにより、Tateコホモロジーを一般化する。

ABSTRACT

In these notes we develop some basic theory of idempotents in monoidal categories. We introduce and study the notion of a pair of complementary idempotents in a triangulated monoidal category, as well as more general idempotent decompositions of identity. If $\mathbf{E}$ is a categorical idempotent then $\operatorname{End}(\mathbf{E})$ is a graded commutative algebra. The same is true of $\operatorname{Hom}(\mathbf{E},\mathbf{E}^c[1])$ under certain circumstances, where $\mathbf{E}^c$ is the complement. These generalize the notions of cohomology and Tate cohomology of a finite dimensional Hopf algebra, respectively.

研究の動機と目的

• 分類的および高次表現論への応用を目的として、三角的モノイダル圏における単位的および余単位的冪等元の基礎的理論を構築すること。
• カテゴリカルな冪等元を用いて、有限次元ホプフ代数のコホモロジーやTateコホモロジーの概念を一般化すること。
• 導来圏におけるTate対象と単位的／余単位的冪等元構造の間の対応を確立すること。
• 三角的圏における恒等射の冪等分解とポストニコフ系を体系的に理解するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• モノイダル圏における単位的および余単位的冪等元を、$\eta: \mathbbm{1} \to \mathbf{U}$ および $\varepsilon: \mathbf{C} \to \mathbbm{1}$ という準同型を用いて定義し、テンソル積下で同型条件を満たすようにする。
• 三角的モノイダル圏における補完的冪等元 $({\mathbf{C}}, {\mathbf{U}})$ を定義し、関連する区別された三角形を構成することで、半直交分解を実現する。
• ポストニコフ系と恒等射の線形的分解を用いて、自己準同型代数の構造とその可換性を分析する。
• 双対冪等元対 $({\mathbf{U}}^\star, {\mathbf{U}})$ からTate対象 $\mathbf{T}$ を構成し、それが単位的／余単位的冪等元構造を引き継ぐことを示す。
• 双対化関手 $(-)^\star$ を適用して構造を双対化し、ホモロジー空間間の同型、特に $\operatorname{hom}(\mathbf{T},\mathbf{T}) \simeq \operatorname{hom}(\mathbf{U},\mathbf{C}[1])$ を証明する。
• 接続準同型 $\delta: \mathbf{U} \to \mathbf{C}[1]$ が、同型 $[\operatorname{Id}_{\mathbf{T}}] \mapsto [\delta]$ を介して代数 $\operatorname{hom}(\mathbf{U},\mathbf{C}[1])$ の単位元として作用することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角的モノイダル圏における単位的および余単位的冪等元は、どのようにコホモロジー的およびTateコホモロジー的構造を一般化するか？
• RQ2 補完的冪等元は、三角的圏の半直交分解を実現するために果たす役割は何か？
• RQ3 どのようにして、冪等分解とポストニコフ系を通じて、カテゴリカルにTateコホモロジーを再構成できるか？
• RQ4 Tate対象 $\mathbf{T}$ に関連する $\operatorname{hom}(\mathbf{U}, \mathbf{C}[1])$ にどのような代数的構造が生じるか？
• RQ5 冪等元の自己準同型代数とその補完の代数は、どのようにしてその可換性を示すか？

主な発見

• カテゴリカルな冪等元 $\mathbf{E}$ の自己準同型代数 $\operatorname{End}(\mathbf{E})$ は、グレーディング可換代数である。
• 適切な条件下で、$\operatorname{Hom}(\mathbf{E}, \mathbf{E}^c[1])$ もグレーディング可換代数をなす。これはTateコホモロジーを一般化する。
• 双対冪等元対 $({\mathbf{U}}^\star, {\mathbf{U}})$ に関連するTate対象 $\mathbf{T}$ は、${\mathcal{K}}({\mathcal{C}}^{\oplus})$ において単位的冪等元構造を備え、補完として $\mathbf{C} \oplus \mathbf{U}^\star$ を持つ。
• $\mathbf{T}[-1]$ は、${\mathcal{K}}({\mathcal{C}}^{\Pi})$ において余単位的冪等元構造を備え、補完として $\mathbf{U} \oplus \mathbf{C}^\star$ を持つ。
• 自然な同型 $\operatorname{hom}(\mathbf{T}, \mathbf{T}) \simeq \operatorname{hom}(\mathbf{U}, \mathbf{C}[1])$ が存在し、$[\operatorname{Id}_{\mathbf{T}}]$ が接続準同型 $[\delta]$ にマッピングされる。
• $\operatorname{hom}(\mathbf{U}, \mathbf{C}[1])$ は、単位 $[\delta]$ を持つ単位的代数構造を引き継ぎ、一般化されたTateコホモロジー代数となる。