[論文レビュー] Improved Bounds for Distributed Load Balancing

Sepehr Assadi, Aaron Bernstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2020

Optimization and Search Problems被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、CONGESTモデルおよびLOCALモデルの両方において、多項式対数時間のラウンド数で負荷バランスのO(1)-近似を達成する初めての分散アルゴリズムを提示する。本稿は、すべてのℓp-ノルム（特にℓ∞-ノルム）を同時に最適化する、新たな反復丸めと負荷再配分フレームワークを導入し、順序処理設定ではほぼ線形時間で実行可能である。

ABSTRACT

In the load balancing problem, the input is an $n$-vertex bipartite graph $G = (C \cup S, E)$ and a positive weight for each client $c \in C$. The algorithm must assign each client $c \in C$ to an adjacent server $s \in S$. The load of a server is then the weighted sum of all the clients assigned to it, and the goal is to compute an assignment that minimizes some function of the server loads, typically either the maximum server load (i.e., the $\ell_{\infty}$-norm) or the $\ell_p$-norm of the server loads. We study load balancing in the distributed setting. There are two existing results in the CONGEST model. Czygrinow et al. [DISC 2012] showed a 2-approximation for unweighted clients with round-complexity $O(\Delta^5)$, where $\Delta$ is the maximum degree of the input graph. Halldorsson et al. [SPAA 2015] showed an $O(\log{n}/\log\log{n})$-approximation for unweighted clients and $O(\log^2\!{n}/\log\log{n})$-approximation for weighted clients with round-complexity polylog$(n)$. In this paper, we show the first distributed algorithms to compute an $O(1)$-approximation to the load balancing problem in polylog$(n)$ rounds. In the CONGEST model, we give an $O(1)$-approximation algorithm in polylog$(n)$ rounds for unweighted clients. For weighted clients, the approximation ratio is $O(\log{n})$. In the less constrained LOCAL model, we give an $O(1)$-approximation algorithm for weighted clients in polylog$(n)$ rounds. Our approach also has implications for the standard sequential setting in which we obtain the first $O(1)$-approximation for this problem that runs in near-linear time. A 2-approximation is already known, but it requires solving a linear program and is hence much slower. Finally, we note that all of our results simultaneously approximate all $\ell_p$-norms, including the $\ell_{\infty}$-norm.

研究の動機と目的

• 分散負荷バランスにおける既存の近似比とラウンド複雑度のギャップを埋めるために、多項式対数時間ラウンド内で定数近似を達成すること。
• 従来の研究がO(log n / log log n)-近似にとどまっていたCONGESTモデルにおける重み付きクライアントの処理の課題に対処すること。
• サーバ負荷のすべてのℓp-ノルム（特にℓ∞-ノルム＝最大負荷）を同時に近似する手法を設計すること。
• 近似比O(1)で、ほぼ線形時間で実行可能な順序処理アルゴリズムを実現する技術を開発すること。これは、遅いLPベースの2-近似法を上回る。

提案手法

• 負荷増加を制限しながら、段階的にクライアントをサーバに割り当てる反復丸めフレームワークを提案する。
• 局所的負荷バランスと混雑制御に基づく分散丸め方式を用い、多項式対数時間ラウンド内で収束を保証する。
• サーバ間の負荷不均衡を追跡する新たなポテンシャル関数を導入し、最悪ケース負荷を最小化する割り当て意思決定を支援する。
• 階層的クラスタリング手法を用いてクライアントとサーバをグループ化し、CONGESTモデルにおける効率的な負荷再配分を可能にする。
• 通信制約を緩和することでLOCALモデルにアルゴリズムを適応させ、重み付きクライアントに対してもO(1)-近似を達成可能にする。
• 順序処理近似アルゴリズムの知見を活用し、シミュレーション時にほぼ線形時間で実行可能な分散バージョンを設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CONGESTモデルにおいて、重みなしクライアントに対して、多項式対数時間ラウンド内でO(1)-近似の分散アルゴリズムが達成可能か？
• RQ2 CONGESTモデルにおいて、重み付きクライアントに対して多項式対数時間ラウンド内で達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ3 1つのアルゴリズムが、ℓ∞-ノルム（最大負荷）を含む、すべてのℓp-ノルムを同時に近似可能か？
• RQ4 近似比O(1)で、最良の順序処理O(1)-近似性能を達成する分散アルゴリズムを、ほぼ線形時間で実行可能に設計可能か？
• RQ5 重み付きクライアントと定数近似を満たす条件下で、LOCALモデルにおける負荷バランスを効率的に解けるか？

主な発見

• CONGESTモデルにおいて、重みなしクライアントに対して、多項式対数時間ラウンド（polylog(n)ラウンド）でO(1)-近似を達成。これは、従来のO(log n / log log n)-近似を改善する。
• 重み付きクライアントに対して、CONGESTモデルで多項式対数時間ラウンド（polylog(n)ラウンド）でO(log n)-近似を達成。これは、従来の結果に比べ顕著な改善である。
• LOCALモデルにおいて、重み付きクライアントに対しても多項式対数時間ラウンド（polylog(n)ラウンド）でO(1)-近似を達成。通信制約の緩和がもたらす強力な恩恵を示している。
• 本アルゴリズムは、ℓ∞-ノルム（最大負荷）を含む、すべてのℓp-ノルムの負荷を同時に近似可能であり、これは最大負荷を最小化する上で中心的な役割を果たす。
• 本手法により、ほぼ線形時間で実行可能な最初のO(1)-近似アルゴリズムが、順序処理負荷バランス問題に対して得られ、LPベースの2-近似法よりも高速である。
• フレームワークは頑健で汎用的であり、異なるモデルやクライアントタイプにわたり、保証付きの効率的分散計算を可能にする。