[論文レビュー] Improved Distributed Steiner Forest Construction

Christoph Lenzen, Boaz Patt-Shamir|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コンゲストモデルにおけるスティーナー・フォレスト問題に対する、改善された決定的および確率的分散アルゴリズムを提示する。決定的アルゴリズムは Õ(sk + √min{st,n}) ラウンドで (2+ε)-近似を達成し、確率的アルゴリズムは高確率で Õ(k + min{s,√n} + D) ラウンドで O(log n)-近似を達成する。これは、タイトな下界 Õ(k + min{s,√n} + D) と一致する。

ABSTRACT

We present new distributed algorithms for constructing a Steiner Forest in the CONGEST model. Our deterministic algorithm finds, for any given constant $ε>0$, a $(2+ε)$-approximation in $ ilde{O}(sk+\sqrt{\min(st,n)})$ rounds, where $s$ is the shortest path diameter, $t$ is the number of terminals, $k$ is the number of terminal components in the input, and $n$ is the number of nodes. Our randomized algorithm finds, with high probability, an $O(\log n)$- approximation in time $ ilde{O}(k+\min(s,\sqrt n)+D)$, where $D$ is the unweighted diameter of the network. We also prove a matching lower bound of $ ildeΩ(k+\min(s,\sqrt{n})+D)$ on the running time of any distributed approximation algorithm for the Steiner Forest problem. Previous algorithms were randomized, and obtained either an $O(\log n)$-approximation in $ ilde{O}(sk)$ time, or an $O(1/ε)$-approximation in $ ilde{O}((\sqrt{n}+t)^{1+ε}+D)$ time.

研究の動機と目的

• 大規模なネットワークにおけるスティーナー・フォレスト問題のための効率的分散アルゴリズムのギャップを埋める。
• 従来の確率的アルゴリズムが Õ(sk) 時間で O(log n)-近似を達成するか、あるいは Õ((√n + t)^{1+ε} + D) 時間で O(1/ε)-近似を達成するのを改善する。
• 特に最短パス直径が小さい、または端末成分が少ないネットワークにおいて、近似比とラウンド複雑性のより良いトレードオフを達成する。
• 提案されたアルゴリズムのラウンド複雑性の最適性を示すために、ほぼ一致する下界を確立する。

提案手法

• 端末集合のスパンナに、決定的モーティングアルゴリズムを適用して、(2+ε)-近似解を構築する。
• 通信のオーバーヘッドを低減するため、S を √n 個のノードからなるランダムな集合とするとき、端末集合 T ∪ S にスパーススパンナを構築する。
• 仮想ツリー埋め込み技術を用いて、近似保証を維持したまま、より小さな構造的グラフ上で解をシミュレートする。
• 複数回の確率的アルゴリズムの実行と、コンSENSUSステップを組み合わせて、高確率で最良の解を選択する。
• 初期部分解が得られた後、残りの接続要件を再帰的に解くために F-リダクションインスタンス技術を用いる。
• スパンナの構造と最短パス直径を活用して、計算および通信に要するラウンド数の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的分散アルゴリズムは、従来の確率的手法よりも優れたラウンド複雑性を達成しつつ、(2+ε)-近似を実現できるか？
• RQ2 確率的アルゴリズムのラウンド複雑性を Õ(k + min{s,√n} + D) にまで低減でき、O(log n)-近似を維持できるか？
• RQ3 提案されたラウンド複雑性は対数要因を除いてタイトであり、一致する下界を証明できるか？
• RQ4 アルゴリズムの性能は、端末成分数 k、最短パス直径 s、ネットワーク径 D に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ5 スパンナ構築と仮想ツリー埋め込みの組み合わせにより、強い近似比と低い通信複雑性を、分散環境で両立できるか？

主な発見

• 決定的アルゴリズムは Õ(sk + √min{st,n}) ラウンドで (2+ε)-近似を達成し、従来の Õ((√n + t)^{1+ε} + D) 時間を要する O(1/ε)-近似アルゴリズムを改善する。
• 確率的アルゴリズムは高確率で Õ(k + min{s,√n} + D) ラウンドで O(log n)-近似解を計算する。これは対数要因を除いて最適である。
• 任意の非自明な近似比を達成する分散アルゴリズムに対して、Õ(k + min{s,√n} + D) の一致する下界が証明され、確率的アルゴリズムの最適性が確立される。
• 入力が端末間の接続リクエストとして与えられる場合、下界 Õ(t + min{s,√n} + D) が成立し、対数要因を除いてタイトである。
• アルゴリズム設計は、√n 個のノードからなるランダム部分集合におけるスパンナ構築と、修正されたモーティングアルゴリズムを活用し、低い近似比と通信効率を保証する。
• 複数回の確率的実行とコンセンサスステップの組み合わせにより、最良の解が高確率で選択され、O(log n)-近似保証が維持される。