[論文レビュー] In simply-connected cotangent bundles, exact Lagrangian cobordisms are h-cobordisms

Hiro TANAKA|ArXiv.org|Apr 24, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、単連結な余接 bundle $T^*Q$ において、任意のコンパクトな正確なラグランジュ的コボルディズムが、コンパクトな正確なラグランジュ部分多様体の間で h-コボルディズムであることを証明する。この結果は、Abouzaid-Kragh の定理に従い、このようなラグランジュ部分多様体が $Q$ とホモトピー同値であることを示し、ヴァン・カンペンとメイヤー＝ビートリスの技法を用いた二重コボルディズムの議論により、コボルディズムがホモトピー群およびホモロジー群に同型を誘導することを確立する。

ABSTRACT

We show that if Q is simply connected, every exact Lagrangian cobordism between compact, exact Lagrangians in the cotangent bundle of Q is an h-cobordism. The result is an exercise in basic algebraic topology once one invokes the Abouzaid-Kragh theorem.

研究の動機と目的

• Q が単連結であるとき、$T^*Q$ 内の正確なラグランジュ的コボルディズムが h-コボルディズムであることを確立すること。
• T^*Q 内のコボルディズム類を分析することにより、近傍ラグランジュ予想に対する新しい手法を提供すること。
• Fukaya 圏の同値類が、コボルディズム不変量を通じて正確なラグランジュ部分多様体を分類する可能性を支持すること。
• 非コンパクトなコボルディズムが、正確なラグランジュの圏において本質的であることを示すこと、なぜならコンパクトなものはホモトピー的に自明だからである。
• コボルディズム理論とミラー対称性およびFloer的不変量を結びつけることで、シンプレクティック位相幾何学の理解を拡張すること。

提案手法

• Q が単連結であるとき、$T^*Q$ 内の任意のコンパクトな正確なラグランジュ部分多様体が $Q$ とホモトピー同値であることを、Abouzaid-Kragh の定理を用いて示すこと。
• コボルディズム $Y_{01} \circ (Y_{01})^{\text{op}}$ の二重を構成し、$T^*(Q \times S^1)$ 内の閉ラグランジュ部分多様体 $\overline{N}$ を得ること。
• $\overline{N}$ に Abouzaid-Kragh の定理を適用し、射影 $\overline{N} \to Q \times S^1$ がホモトピー同値であることを示すこと。
• 群コホロンのプッシュアウト図とヴァン・カンペンの定理を用いて、$\pi_1(N) = 0$ を示し、自明な基本群を示すこと。
• ホワイトヘッドとヒュルヴィツの定理を適用し、$N$ が $Q \times I$ とホモトピー同値であることを結論づけ、したがって h-コボルディズムであることを示すこと。
• メイヤー＝ビートリスとヴァン・カンペンの議論を用いて、元のコボルディズム $Y_{01}$ が単連結であり、ホモロジーに同型を誘導することを示し、それが h-コボルディズムであることを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q が単連結であるとき、$T^*Q$ 内の正確なラグランジュ的コボルディズムが h-コボルディズムである条件は何か？
• RQ2 コボルディズム類による正確なラグランジュ部分多様体の分類は、近傍ラグランジュ予想を解消するのに役立つだろうか？
• RQ3 正確なラグランジュ的コボルディズムの h-コボルディズム的性質は、その Fukaya 圏内での振る舞いとどのように関係するか？
• RQ4 Q の基本群は、正確なラグランジュ的コボルディズムの位相的型を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 二重コボルディズム構成は、シンプレクティックコボルディズムにおけるホモトピー的自明性を検出するために用いられるだろうか？

主な発見

• Q が単連結であるとき、$T^*Q$ 内のコンパクトな正確なラグランジュ部分多様体の間の任意のコンパクトな正確なラグランジュ的コボルディズムは h-コボルディズムである。
• このようなコボルディズムの二重は、$T^*(Q \times S^1)$ 内のコンパクトな正確なラグランジュ部分多様体 $\overline{N}$ を形成し、Abouzaid-Kragh の定理により $Q \times S^1$ とホモトピー同値である。
• 群コホロンのプッシュアウト議論とヴァン・カンペンの定理により、二重コボルディズム $N$ の基本群は自明であることが示された。
• 二重コボルディズムの両端にあるラグランジュ部分多様体への包含写像はホモトピー同値であるため、$N$ が h-コボルディズムであることが確認された。
• 元のコボルディズム $Y_{01}$ は、メイヤー＝ビートリスとヴァン・カンペンの議論により、単連結でありホモロジーに同型を誘導することから、h-コボルディズムであることが示された。
• 次元 $\dim Q \geq 5$ のとき、補題 2 により、正確なコボルディズムによって関係づけられる任意の二つのコンパクトな正確なラグランジュ部分多様体は微分同相であることが示される。これは h-コボルディズム定理による。