[論文レビュー] Incorporating Voice Permutations into the Theory of Neo-Riemannian Groups and Lewinian Duality

Thomas M. Fiore, Thomas Noll+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2013

Musicology and Musical Analysis参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$T/I$-$PLR$双対性フレームワークにボイス・パーミュテーションを組み込むことで、ネオ・リーマン理論における基礎的問題を解決する。$n$-トプスに異なるピッチクラスを持つものに対する置換群の双対群が、$ \mathbb{Z}_{12}\to\mathbb{Z}_{12}$ のアフィン写像の双対群の内部直積に同型であることを示す。主な結果は、固定点のため従来問題視されていた $\mathrm{RICH}$ 変換が、オクタトニック部分集合に制限すると、単純推移的群作用の一部となり、ショーナーベルクの作品7やリストのS. 201における一貫したパーサモニウス・ボイス・リーディングを可能にする。

ABSTRACT

A familiar problem in neo-Riemannian theory is that the P, L, and R operations defined as contextual inversions on pitch-class segments do not produce parsimonious voice leading. We incorporate permutations into T/I-PLR-duality to resolve this issue and simultaneously broaden the applicability of this duality. More precisely, we construct the dual group to the permutation group acting on n-tuples with distinct entries, and prove that the dual group to permutations adjoined with a group G of invertible affine maps Z12 -> Z12 is the internal direct product of the dual to permutations and the dual to G. Musical examples include Liszt, R. W. Venezia, S. 201 and Schoenberg, String Quartet Number 1, Opus 7. We also prove that the Fiore--Noll construction of the dual group in the finite case works, and clarify the relationship of permutations with the RICH transformation.

研究の動機と目的

• ネオ・リーマン理論におけるボイス・リーディングのパーサモニウス性と $PLR$ 変換の不整合を解消すること。これは、$\mathrm{RICH}$ 変換の固定点のため、パーサモニウス・ボイス・リーディングを生成できないことによる。
• 古典的な $T/I$-$PLR$ 双対性を、ピッチクラス・セグメントにおけるボイスの置換を含めるように拡張し、変換的音楽理論の適用範囲を拡大すること。
• 置換群 $\Sigma_n$ と $T/I$ 群の半直積の双対群が、各成分の双対群の内部直積に同型であることを証明すること。
• $\mathrm{RICH}$ 変換が、ボイス・リーディングのパーサモニウス性の文脈における役割と、制限されたピッチクラス集合上での単純推移的群作用との整合性を明確にすること。

提案手法

• Fiore–Nollの双対性フレームワークを用いて、$\mathbb{Z}_{12}$ の異なる要素を持つ $n$-トプスに作用する置換群の双対群を構成する。
• 置換群 $\Sigma_n$ と $T/I$ 群の半直積の双対群が、$\Sigma_n$ の双対群と $T/I$ の双対群の内部直積に同型であることを証明する。
• $\mathrm{RICH}$ 変換を、ボイス交換 $(1\;3)$ と文脈的反転 $J^{2,3}$ の合成として定義し、逆行反転のチェインジングをモデル化する。
• マジョル・マイナス・トライアドのすべての144通りの順列に作用する $\mathrm{RICH}$ の巡回分解を分析し、固定点と軌道構造を特定する。
• $\mathrm{RICH}$ の作用をオクタトニック部分集合（例：$\{0,2,3,4,6,7,9,10\}$）に制限し、固定点を排除して単純推移的群作用を達成する。
• 明示的な巡回記法と音楽的例（ショーナーベルクの作品7、リストのS. 201）を用いて、$\mathrm{RICH}$ が特定の部分集合上で単純推移的に作用することを示し、パーサモニウス・ボイス・リーディングを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボイス・パーミュテーションをどのように形式的に $T/I$-$PLR$ 双対性フレームワークに統合し、ボイス・リーディングのパーサモニウス性を回復できるか？
• RQ2 $\mathrm{RICH}$ 変換が144個の順序付きトライアド全体に対して単純推移的に作用できないのはなぜか？そして、この欠陥はどのように是正できるか？
• RQ3 ネオ・リーマン理論において、置換群と $T/I$ 群が結合された際の双対群の群論的構造は何か？
• RQ4 $\mathrm{RICH}$ 変換を、ピッチクラス・セグメントの部分集合上で単純推移的群作用に埋め込むことは可能か？もし可能であれば、どのような条件下で可能か？
• RQ5 異なるトライアド部分集合（例：オクタトニック・スケール）における $\mathrm{RICH}$ の巡回分解は、音楽的ボイス・リーディングや変換ネットワークとどのように関係するか？

主な発見

• 置換群 $\Sigma_n$ と $T/I$ 群の半直積の双対群は、$\Sigma_n$ の双対群と $T/I$ の双対群の内部直積に同型であり、双対性理論における基礎的問題を解決する。
• $\mathrm{RICH}$ 変換は、$(1\;3) \circ J^{2,3}$ として定義され、すべての144通りのマジョル・マイナス・トライアドの順列に作用する際、固定点を持つため、単純推移的群作用の一部にはなり得ない。
• オクタトニック部分集合（例：$\{0,2,3,4,6,7,9,10\}$）に制限すると、$\mathrm{RICH}$ 変換は固定点がなく、巡回分解から単純推移的群作用であることが裏付けられる。
• $\mathrm{RICH}$ 変換には長さ24の巡回（$RL$ に似る）、長さ8の巡回（$PR$ に似る）、長さ6の巡回（$PL$ に似る）が含まれており、6乗目と8乗目のべき乗が固定点を持つことから、全集合では単純推移的でないことが確認される。
• ショーナーベルクの弦楽四重奏曲第1番、作品7、およびリストの『ヴェネツィアと崩壊』S. 201 の音楽的例から、$\mathrm{RICH}$ がオクタトニック部分集合上で単純推移的に作用し、パーサモニウス・ボイス・リーディングを可能にすることが示される。
• オクタトニックスケール $\{2,3,5,6,8,9,11,0\}$ における $\mathrm{RICH}$ 変換の作用には長さ8の巡回が含まれており、これが小説的第8–10小節のコールのモチーフと一致する。これにより、その音楽的関連性が裏付けられる。