[論文レビュー] Increasing the quantum UNSAT penalty of the circuit-to-Hamiltonian construction

Johannes Bausch, Elizabeth Crosson|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、局所項の数や演算子ノルムを増加させることなく、修正されたフェニマン＝キタエフハミルトニアンに非一様な歴史状態を導入することで、回路からハミルトニアンへの構成における量子UNSATペナルティを Ω((1−√ε)T⁻³) から Ω((1−√ε)T⁻²) に改善した。この改善は、三重対角時計ハミルトニアンフレームワーク内において最適であることが示され、スペクトルギャップと端点における基底状態重ね合わせの積に対するタイトな O(T⁻²) 上界によって裏付けられている。

ABSTRACT

The Feynman-Kitaev Hamiltonian used in the proof of QMA-completeness of the local Hamiltonian problem has a ground state energy which scales as $\Omega((1-\sqrt{\epsilon}) T^{-3})$ when it is applied to a circuit of size $T$ and maximum acceptance probability $\epsilon$. We refer to this quantity as the quantum UNSAT penalty, and using a modified form of the Feynman Hamiltonian with a non-uniform history state as its ground state we improve its scaling to $\Omega((1-\sqrt{\epsilon})T^{-2})$, without increasing the number of local terms or their operator norms. As part of the proof we show how to construct a circuit Hamiltonian for any desired probability distribution on the time steps of the quantum circuit (which, for example, can be used to increase the probability of measuring a history state in the final step of the computation). Next we show a tight $\mathcal{O}(T^{-2})$ upper bound on the product of the spectral gap and ground state overlap with the endpoints of the computation for any clock Hamiltonian that is tridiagonal in the time register basis, which shows that the scaling of the quantum UNSAT penalty achieved by our construction cannot be further improved within this framework. Our proof of the upper bound applies a quantum-to-classical mapping for arbitrary tridiagonal Hermitian matrices combined with a sharp bound on the spectral gap of birth-and-death Markov chains. In the context of universal adiabatic computation we show how to reduce the number of qubits required to represent the clock by a constant factor over the standard construction, but show that it is otherwise already optimal in the sense we consider and cannot be further improved with tridiagonal clock Hamiltonians, which agrees with a similar upper bound from a previous study.

研究の動機と目的

• QMA完全性の証明における回路からハミルトニアンへの構成における量子UNSATペナルティを向上させること。
• 回路の複雑さや演算子ノルムを増加させることなく、フェニマン＝キタエフハミルトニアンにおける基底状態エネルギーのスケーリングを低減すること。
• 三重対角時計ハミルトニアンにおけるスペクトルギャップと時間レジスタ端点との基底状態重ね合わせの積に対するタイトな上界を確立すること。
• 時計レジスタのサイズを最小化することで、普遍的アディアバティック量子計算におけるキュービット使用量を最適化すること。

提案手法

• 非一様な歴史状態を用いた修正されたフェニマン＝キタエフハミルトニアンを構築し、量子UNSATペナルティのスケーリングを向上させる。
• 量子計算の各時間ステップにおける任意の所望の確率分布を実現する回路ハミルトニアンを設計する。
• 三重対角エルミート行列に対して量子から古典への写像を適用し、時計ハミルトニアンのスペクトル特性を分析する。
• 出生・死滅マルコフ連鎖のスペクトルギャップに対する鋭い境界を導出し、スペクトルギャップと基底状態重ね合わせの積に対する上界を確立する。
• 改善された T⁻² スケーリングが三重対角時計ハミルトニアンフレームワーク内において最適であることを証明する。
• 標準的構成と比較して、時計レジスタを表すキュービット数を定数倍だけ削減できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回路からハミルトニアンへの構成における量子UNSATペナルティを、回路の複雑さや演算子ノルムを増加させることなく、Ω((1−√ε)T⁻³) を超えて改善できるか？
• RQ2 三重対角時計ハミルトニアンにおいて、量子UNSATペナルティの T⁻² スケーリングは最適か？
• RQ3 非一様な歴史状態を用いることで、フェニマン＝キタエフ構成におけるより良い基底状態エネルギーのスケーリングを達成できるか？
• RQ4 三重対角時計ハミルトニアンにおけるスペクトルギャップと時間レジスタ端点との基底状態重ね合わせの積に対する、最もタイトな可能な上界は何か？
• RQ5 この改善された構成を用いることで、普遍的アディアバティック量子計算におけるキュービット数を定数倍だけ削減できるか？

主な発見

• 非一様な歴史状態を用いた修正されたフェニマン＝キタエフハミルトニアンにより、量子UNSATペナルティは Ω((1−√ε)T⁻³) から Ω((1−√ε)T⁻²) に向上した。
• 改善された T⁻² スケーリングが最適であることが証明され、スペクトルギャップと端点における基底状態重ね合わせの積に対するタイトな O(T⁻²) 上界が確立された。
• この上界はすべての三重対角時計ハミルトニアンに適用可能であり、量子から古典への写像と出生・死滅マルコフ連鎖のスペクトルギャップに対する鋭い境界を用いて導出された。
• 任意の時間ステップ確率分布を実現可能な回路ハミルトニアンが構築され、歴史状態における測定結果の制御が可能になった。
• 標準的構成と比較して、時計レジスタを表すキュービット数が定数倍だけ削減された。
• 結果として、改善された構成が三重対角フレームワーク内において最適であることが確認され、独立した研究から得られた先行の上界と整合的であることが示された。