[論文レビュー] Index theory, eta forms, and Deligne cohomology

Ulrich Bunke|ArXiv.org|Jan 14, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、任意の余次元の境界面をもつ特異的空間への一般化を含む、角を持つ多様体上のディラク作用素の族に対するインデックス理論を開発し、デリーニコhomologyを用いた洗練された障害理論を導入する。局所的インデックス理論とη-形式、およびディラク作用素の調整（taming）を組み合わせることで、インデックスのk番目のチャーン類をk次積分デリーニコhomologyに持ち上げ、K理論における二次的不変量の幾何的精錬を提供するとともに、標準的インデックス理論を任意の余次元の境界面をもつ特異的空間へと拡張する。

ABSTRACT

The Chern classes of a K-theory class which is represented by a vector bundle with connection admit refinements to Cheeger-Simons classes in Deligne cohomology. In the present paper we consider similar refinements in the case where the classes in K-theory are represented by geometric families of Dirac operators. In low dimensions these refinements correspond to the exponentiated eta-invariant, the determinant line bundle with Quillen metric and Bismut-Freed connection, and Lott's index gerbe with connection and curving. We give a unified treatement of these cases as well as their higher generalizations. Our main technical tool is a variant of local index theory for Dirac operators of families of manifolds with corners.

研究の動機と目的

• 角を持つ多様体の任意の余次元の族に対するインデックス理論を拡張すること。標準的Fredholm理論は境界特異性のため失敗する。
• 境界面から内部への調整（可逆的摂動）の拡張のための体系的障害理論を、帰納的還元プロセスを用いて開発すること。
• i-1次元からi次元の部分複体への調整の拡張を妨げるk次整数コhomology類を、i次デリーニココhomologyの類へと精錬し、コhomologyを超えた幾何的・位相的データを捉えること。
• 局所的インデックス形式とη-形式を組み合わせることで、ディラク作用素の族のインデックスの微分幾何的精錬を構成し、境界寄与を含むde Rham代表元を得ること。

提案手法

• 本稿は、滑らか作用素による可逆的摂動としての「調整（taming）」の概念を導入し、角を持つ多様体上でのFredholm作用素の構成を可能にする。
• 境界還元を体系的に発展させ、角を持つ多様体上のインデックス問題を、帰納的に低余次元の面に還元する。
• 局所的インデックス理論を、局所的インデックス形式と境界面からのη-形式寄与の和としてde Rham代表元を構成することにより、角を持つ多様体へと拡張する。
• 局所的インデックス理論におけるトランスグレッション形式を用い、インデックスが消える場合にde Rham代表元を自明化し、二次的不変量の構成を可能にする。
• 障害理論と調整の幾何を用いて、インデックスのk番目のチャーン類をデリーニココhomologyに一意に持ち上げる構成を行う。
• 理論が低次元で既知の幾何的対象と整合することを確認：k=1ではη不変量、k=2では決定的ラインバンドル、k=3ではインデックスgerbe。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的境界条件が失敗する角を持つ多様体の任意の余次元において、ディラク作用素のインデックス理論をどのように拡張できるか。
• RQ2 角を持つ多様体の境界から内部へのディラク作用素の調整の拡張に対する障害は何か。そして、この障害を体系的に計算する方法は何か。
• RQ3 調整の拡張を妨げるk次整数コhomology類を、k次デリーニココhomologyの類へと精錬できるか。この精錬が何を幾何的データとしてエンコードするか。
• RQ4 η-形式と局所的インデックス形式は、境界面を有する状況下で、インデックスのチャーン類をどのように表現するか。
• RQ5 家族のディラク作用素に対して、デリーニココホモロジーにおける精錬された障害類の幾何的解釈は何か。

主な発見

• 本稿は、境界還元に起因する障害を伴う帰納的調整手順により、角を持つ多様体上にFredholm作用素構造を構成する。
• 角を持つ多様体上のディラク作用素の族のインデックスのチャーン類は、局所的インデックス形式と境界面からのη-形式寄与を含むde Rham形式として表現される。
• インデックスが消える場合、局所的インデックス理論におけるトランスグレッション形式がde Rham代表元の微分幾何的精錬を提供し、二次的不変量の構成を可能にする。
• i-1次元からi次元の部分複体への調整の拡張に対する障害類は、i次積分デリーニココホモロジーの類へと持ち上げられ、古典的コホモロジー障害を精錬する。
• 構成により、インデックスのk番目のチャーン類がデリーニココホモロジーに一意に持ち上げられる。k=1,2,3の場合、それぞれη不変量、決定的ラインバンドル、インデックスgerbeを回復する。
• 理論は既知の幾何的実現と整合することが確認されている：k=1はη不変量に対応し、k=2は接続付き決定的バンドルに対応し、k=3は幾何的gerbeに対応する。これにより、従来のインデックス理論との一貫性が裏付けられる。