[論文レビュー] Index theory for actions of compact Lie groups on C*-algebras

Charlotte Wahl|ArXiv.org|Jul 21, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、C*-代数上のコンパクトなリー群の作用に関する体系的なインデックス理論を確立し、その群に対して、飽和的かつ主的な作用が同値であることを示している。不変ディラック作用素から半有限なスペクトル三重項を構成し、K理論のペアリングとKK理論の類 [D/] を結びつけるインデックス定理を証明しており、トーラス作用の結果を拡張し、双対Pimsner-Voiculescu系列と接続している。

ABSTRACT

We study the index theory for actions of compact Lie groups on C*-algebras with an emphasis on principal actions. Given an invariant semifinite trace on the C*-algebra we obtain semifinite spectral triples. For circle actions we consider the relation to the dual Pimsner-Voiculescu sequence. On the way we show that the notions ``saturated'' and ``principal'' are equivalent for actions by compact Lie groups.

研究の動機と目的

• コンパクトリー群のC*-代数への作用に関する体系的なインデックス理論の構築。
• コンパクトリー群の文脈における「飽和的」と「主的」作用の概念の関係の明確化。
• 群作用における不変ディラック作用素から半有限なスペクトル三重項の構成。
• K*(A) と KK理論類 [D/] のペアリングに対するインデックス定理の確立し、円作用の場合の双対Pimsner-Voiculescu系列と接続。
• 高ランクグラフC*-代数や量子主バンドルを含む、飽和的作用へのスペクトル三重項およびインデックス不変量の既存構成の一般化。

提案手法

• C∞(G, A) 上の不変作用素を用いて、C*-代数上の誘導Gバンドルの滑らかな切断にたいする擬微分計算の定義。
• 交差積代数 A×αG がコンパクト作用素の役割を果たすK理論におけるアティヤ＝シンガー型の完全系列の構成。
• コンパクトリー群 G 上の不変ディラック作用素を用いて、KK*(A, A×αG) 内の正則な要素 D/ を定義し、類 [D/] を得る。
• A に不変な半有限な正規測度が備わっている場合、交差積のバナッハ代数のフォンノイマン代数を用いて、不変ディラック作用素に対応する半有限なスペクトル三重項を関連付ける。
• 先行研究（Wahl, 2010）の結果を用いて、K*(A) と [D/] のペアリングのインデックスが、K*(A×αG) 内のインデックスのトレースに一致することを証明。
• 文献に登場するヒルベルト Aα-加群構成から生じる類と、KK理論類 [D/] のモラータ同値性を確立し、グラフC*-代数の結果を一般化。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトリー群のC*-代数への作用において、「飽和的」と「主的」作用の概念は同値か？
• RQ2 垂直楕円型作用素の主バンドル上の理論に類似した、コンパクトリー群作用の体系的インデックス理論はどのように構築できるか？
• RQ3 不変ディラック作用素から生じるKK理論類 [D/] と、文献におけるスペクトル三重項構成との関係は何か、特にグラフC*-代数の文脈で。
• RQ4 円作用の場合に、K*(A) と [D/] のインデックスペアリングは、双対Pimsner-Voiculescu系列とどのように関係するか？
• RQ5 高ランクグラフC*-代数への飽和的作用の場合、交差積のフォンノイマン代数は、交差積のフォンノイマン代数と同型か？

主な発見

• コンパクトリー群のC*-代数への作用において、「飽和的」と「主的」作用の概念は同値である。
• 任意のコンパクトリー群 G 上の不変ディラック作用素に対して、KK*(A, A×αG) 内の類 [D/] が構成され、これは正則的であり、A に不変な半有限な正規測度が備わっている場合には、半有限なスペクトル三重項を誘導する。
• K*(A) と [D/] のペアリングに対するインデックス定理が確立され、先行研究（Wahl, 2010）で証明されたインデックス定理と一致する。
• 円作用の場合、双対Pimsner-Voiculescu系列の6つの写像が [D/] とのカスパロフ積に対応し、インデックス理論がK理論計算と接続される。
• 不変ディラック作用素から半有限なスペクトル三重項を構成する手法は、グラフC*-代数および非可換トーラスに関する先行結果を一般化・統合する。
• コンパクトリー群のコンパクト量子群への作用が飽和的であることが示され、理論が量子主バンドルへと拡張される。