[論文レビュー] Inequivalence of skew Hadamard difference sets and triple intersection numbers modulo a prime

Koji Momihara|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2013

graph theory and CDMA systems参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限体上の乗法的キャラクタの和の性質に基づき、素数を法とする三重交差数という新しい不変量を導入し、FengとXiangが構成した無限個のねじれHadamard差集合が、古典的なPaley差集合と同値でないことを証明する。再帰的リフト性質とキャラクタ和解析を活用することで、パrameterが類似している場合でさえも、Feng-Xiangの構成が相異なる組合せ的対象を生成することを確立する。

ABSTRACT

Recently, Feng and Xiang \cite{FX113} found a new construction of skew Hadamard difference sets in elementary abelian groups. In this paper, we introduce a new invariant for equivalence of skew Hadamard difference sets, namely triple intersection numbers modulo a prime, and discuss inequivalence between Feng-Xiang skew Hadamard difference sets and the Paley difference sets. As a consequence, we show that their construction produces infinitely many skew Hadamard difference sets inequivalent to the Paley difference sets.

研究の動機と目的

• アーベル群におけるPaleyの差集合以外にねじれHadamard差集合が存在するかという長年の未解決問題に取り組む。
• 計算的に高コストな手法に依存せずに、同値性を証明する理論的枠組みを提供する。
• パrameterのみに依存する標準的不変量（例：pランク）の限界を克服し、同値でないねじれHadamard差集合を区別できないことの問題点を解消する。
• 有限体上の組合せデザインにおける同値性を検出するための新しい理論的道具として、素数を法とする三重交差数を確立する。
• Feng-Xiangの構成が、Paley差集合と同値でない無限個のねじれHadamard差集合を生成することを示す。

提案手法

• 新しい不変量として、有限体上のキャラクタ和の性質から導かれる、素数を法とする三重交差数を定義する。
• Davenport-Hasse積公式を用いてガウス和を解析し、キャラクタ和の整除条件を導出する。
• Feng-Xiang差集合のリフト性質を活用する：$\mathbb{F}_q$ でねじれHadamardである集合が、$\gcd(t,N)=1$ のとき $\mathbb{F}_{q^t}$ にリフトしてもねじれHadamardの性質を保つ。
• 再帰的技法を用いて、リフト先における三重交差数を比較し、Feng-Xiang差集合とPaley差集合との間に差が生じることを示す。
• 有限体 $\mathbb{F}_q$ における位数 $N = 2p_1^m$ の円分類を用いる。ここで $q = p^{fs}$ であり、$p \equiv 3 \pmod{4}$ かつ $f = \mathrm{ord}_N(p) = \phi(N)/2$ である。
• リフトにおいて $\gcd(t,N)=1$ のとき、素数を法とする三重交差数が保存されることを確立し、体拡大にわたる再帰的比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル群内に、Paley差集合と同値でない無限個のねじれHadamard差集合が存在するか？
• RQ2 パrameterに基づく不変量を超えて、ねじれHadamard差集合を区別できる理論的不変量を構築できるか？
• RQ3 リフト性質を持つFeng-XiangのねじれHadamard差集合は、Paley構成と比較して相異なる組合せ的対象を生成するか？
• RQ4 素数を法とする三重交差数は、ねじれHadamard差集合の同値性検出に信頼できる不変量として機能できるか？
• RQ5 PaleyおよびFeng-Xiang族以外に、リフト性質を持つねじれHadamard差集合の他の構成が存在するか？

主な発見

• 本稿では、素数を法とする三重交差数という新しい不変量を用いて、Feng-XiangのねじれHadamard差集合がPaley差集合と同値でないことを証明した。
• パrameterセット $(v,k,\lambda) = (67,3,14)$ に対して、Feng-Xiangの構成ではすべての $t$ に対して三重交差数 $n_t$ が少なくとも 3 であることが示されたが、Paley集合ではすべての $t$ に対して $n_t = 2$ である。
• $(v,k,\lambda) = (107,3,14)$ の場合、あるFeng-Xiang集合では三重交差数 $n_3 = 1$ であるが、Paley集合ではすべての $t$ に対して $n_t = 2$ であるため、同値でないことが証明された。
• リフトプロセスが不変量を保存するため、この不変量を用いて再帰的に区別可能であり、Paley差集合と同値でない無限個のねじれHadamard差集合が生成されることを示した。
• 計算機探索に依存せず、理論的アプローチにより同値性を検出できることを示し、計算的検証の代替手段を提供した。
• 本稿では、定理13を用いてFeng-Xiang構成をより広いパラメータ範囲へ一般化した。ここで $2 \in \langle p \rangle \pmod{p_1^m}$ かつ $f = \mathrm{ord}_N(p)$ が奇数である場合に該当し、適用可能なケースの範囲を拡張した。