[論文レビュー] Inequivalent $Z_2^n$-graded brackets, $n$-bit parastatistics and statistical transmutations of supersymmetric quantum mechanics

M. M. Balbino, Isaque P. de Freitas+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2023

Algebraic structures and combinatorial modelsMathematics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-graded Lie (超)代数が、graded Jacobi恒等式と整合する$ b_n = n + \lfloor n/2\rfloor + 1 $個の非同値な括弧を備えることを確立し、1ビット統計から$n$-ビットパラ統計へ一般化する。この枠組みを適用して、${\cal N}$-拡張1次元超対称量子力学（${\cal N} = 1,2,4,8$）が、非同値なパラ統計的実現を通じて$s_{\cal N} = 2,6,10,14$個の異なる統計的転移を示し、標準的なボソンやフェルミオンでは実現できない新しいエネルギー準位の degeneracy をもたらすことを示す。

ABSTRACT

Given an associative ring of $Z_2^n$-graded operators, the number of inequivalent brackets of Lie-type which are compatible with the grading and satisfy graded Jacobi identities is $b_n= n+\lfloor n/2 floor+1$. This follows from the Rittenberg-Wyler and Scheunert analysis of "color" Lie (super)algebras which is revisited here in terms of Boolean logic gates. The inequivalent brackets, recovered from $Z_2^n imes Z_2^n ightarrow Z_2$ mappings, are defined by consistent sets of commutators/anticommutators describing particles accommodated into an $n$-bit parastatistics (ordinary bosons/fermions correspond to $1$ bit). Depending on the given graded Lie (super)algebra, its graded sectors can fall into different classes of equivalence expressing different types of (para)bosons and/or (para)fermions. As a first application we construct $Z_2^2$ and $ Z_2^3$-graded quantum Hamiltonians which respectively admit $b_2=4$ and $b_3=5$ inequivalent multiparticle quantizations (the inequivalent parastatistics are discriminated by measuring the eigenvalues of certain observables in some given states). As a main physical application we prove that the $N$-extended, $1D$ supersymmetric and superconformal quantum mechanics, for $N=1,2,4,8$, are respectively described by $s_{N}=2,6,10,14 $ alternative formulations based on the inequivalent graded Lie (super)algebras. These numbers correspond to all possible "statistical transmutations" of a given set of supercharges which, for ${N}=1,2,4,8$, are accommodated into a $Z_2^n$-grading with $n=1,2,3,4$ (the identification is $N= 2^{n-1}$). In the simplest ${N}=2$ setting (the $2$-particle sector of the de DFF deformed oscillator with $sl(2|1)$ spectrum-generating superalgebra), the $Z_2^2$-graded parastatistics imply a degeneration of the energy levels which cannot be reproduced by ordinary bosons/fermions statistics.

研究の動機と目的

• graded Jacobi恒等式と結合的環乗法とを満たすすべての非同値な${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-graded Lie (超)代数を分類すること。
• 粒子がそのgradedセクターの割り当てに従いボソン、パラボソン、フェルミオン、またはパラフェルミオンに分類される$n$-ビットパラ統計に、通常の統計（1ビット）を一般化すること。
• ${\cal N}$-拡張超対称量子力学にこの形式的枠組みを適用し、非同値なgraded括弧から生じる異なる統計的転移を同定すること。
• ${\cal N} = 1,2,4,8$に対して、非同値な量子化の数がそれぞれ$s_{\cal N} = 2,6,10,14$であることを示し、これは$n=1,2,3,4$ビットに対応する。
• これらの転移が、標準的統計では再現できない物理的に異なるエネルギー準位のdegeneracyを${\cal N}=2$の場合に生じることを示すこと。

提案手法

• ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-graded括弧の非同値な数$ b_n = n + \lfloor n/2\rfloor + 1 $を、Rittenberg-WylerおよびScheunertによるcolor Lie超代数の分析を通じて導出する。
• n-ビットパラ統計の整合的な交換関係/反交換関係のルールを分類するために、ブール論理ゲートを用いて括弧を再定式化する。
• ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-graded量子ハミルトニアンを$n=2,3$について構築し、$b_2=4$および$b_3=5$個の非同値な多粒子量子化を実現する。
• 異なるgradedセクターにスーパーチャージと空欄を割り当てることで、非同値なgraded Lie (超)代数を生成し、クaternion、スプリットクォータニオン、バイクォータニオンからの明示的例を提示する。
• ${\cal N}=2$のde Alfaro-Fubini-Furlan振動子モデルを分析し、${\mathbb{Z}}_{2}^{2}$-graded構造が標準的統計では得られないエネルギー準位のdegeneracyを生じることを示す。
• バイクォータニオンの3つの異なる$\mathbb{Z}_2^3$-graded超代数（$3_{5,i}$, $3_{5,ii}$, $3_{5,iii}$）の明示的(反)交換関係を用いて、異なる対角符号を持つ実形式が存在することを示し、それらが非同値であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 graded Jacobi恒等式を満たし、$n$-ビットパラ統計の結合的環乗法と整合する${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-graded Lie括弧の非同値な数はいくつか？
• RQ2 ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-graded演算子代数によって誘導される非同値なgraded Lie (超)代数の最小数$b_n$は何か？ そして$n$とともにどのように増加するか？
• RQ3 「マークされた」演算子をgradedセクターに異なる割り当てることで、$b_n$の基本数を超える非同値なgraded Lie (超)代数がどのように生成されるか？
• RQ4 ${\cal N}=1,2,4,8$の${\cal N}$-拡張超対称量子力学が、複数の非同値なパラ統計的量子化によって実現可能か？ もしそうなら、その数は何か？
• RQ5 これらの非同値な量子化が、特に${\cal N}=2$の場合に、標準的ボソン/フェルミオン統計では再現できない物理的に異なるエネルギースペクトルを生じるか？

主な発見

• ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-graded括弧の非同値な数で、graded Jacobi恒等式と整合するものは$ b_n = n + \lfloor n/2\rfloor + 1 $であり、$b_2 = 4$および$b_3 = 5$である。
• $n=2$の場合、クォータニオン代数は$c_2 = 4 = b_2$個の非同値なgraded Lie超代数を生成するが、スプリットクォータニオンは$c_2 = 6 > b_2$、バイクォータニオンは$c_3 = 16 > b_3 = 5$を生成し、マークされた演算子が非同値な実現数を増加させることを示している。
• ${\cal N}=2$のde Alfaro-Fubini-Furlan振動子モデルは、$sl(2|1)$のスピン生成代数を有し、${\mathbb{Z}}_{2}^{2}$-gradedパラ統計下で標準的ボソンやフェルミオンでは実現できないエネルギー準位のdegeneracyを示す。
• ${\cal N}=1,2,4,8$に対して、スーパーチャージの非同値な統計的転移数はそれぞれ$s_{\cal N} = 2,6,10,14$であり、関係式${\cal N} = 2^{n-1}$に従い、$n=1,2,3,4$ビットに対応する。
• バイクォータニオンから導かれる3つの異なる$\mathbb{Z}_2^3$-graded超代数（$3_{5,i}$, $3_{5,ii}$, $3_{5,iii}$）の明示的(反)交換関係は、異なる対角符号（例：$(-1,+1,+1,+1)$ および $(-1,-1,+1,+1)$）を持つ実形式を示し、それらが非同値であることを確認する。
• $3_{5,i}$と$3_{5,iii}$のサブケースは、パラフェルミオン的生成子の対角符号が異なるため、同じgraded超代数の異なる実形式を表しており、バイクォータニオンでは合計$n_B = 16$個の非同値なgraded Lie (超)代数が存在する。