[論文レビュー] Inference for Empirical Wasserstein Distances on Finite Spaces

Max Sommerfeld, Axel Munk|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 62被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限距離空間上の経験的 Wasserstein 距離の漸近的分布を、それが確率的線形計画問題の最適値として生じることを示すことによって確立する。これにより、信頼区間を含む厳密な統計的推論が可能になる。主な貢献は、古典的ブートストラップ法の失敗を克服するための方向的 Hadamard 連続性を用いた Wasserstein 距離の中心極限定理の確立である。

ABSTRACT

The Wasserstein distance is an attractive tool for data analysis but statistical inference is hindered by the lack of distributional limits. To overcome this obstacle, for probability measures supported on finitely many points, we derive the asymptotic distribution of empirical Wasserstein distances as the optimal value of a linear program with random objective function. This facilitates statistical inference (e.g. confidence intervals for sample based Wasserstein distances) in large generality. Our proof is based on directional Hadamard differentiability. Failure of the classical bootstrap and alternatives are discussed. The utility of the distributional results is illustrated on two data sets.

研究の動機と目的

• 一般設定下で経験的 Wasserstein 距離の分布極限が存在しないことから、統計的推論を可能にする。
• 有限空間における Wasserstein 距離に対して古典的ブートストラップ法が失敗することを解決する。
• 方向的 Hadamard 連続性を用いて、経験的 Wasserstein 距離の中心極限定理を確立する。
• 信頼区間、仮説検定、多重比較のためのフレームワークを提供する。
• 従属標本やその他の輸送関連汎関数への適用可能性を拡張する。

提案手法

• 有限空間上の Wasserstein 距離を、経験的測度を入力とする確率的目的関数を持つ線形計画問題として定式化する。
• 線形計画問題の最適値写像の方向的 Hadamard 連続性を用いて、漸近正規性を導出する。
• 極限分布は、線形計画問題の双対変数によってインデックス付けられたガウス過程として特徴づけられる。
• 古典的ブートストラップに依存しない方法であり、Wasserstein 距離に対してはそれが失敗することが示されている。
• 任意のコスト行列、特に $ p < 1 $ の距離から導かれるものでさえも適用可能であり、従属標本へも拡張可能である。
• 理論的結果は実データセットを用いて検証され、臨床的およびメタゲノム的応用において実用的有用性を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般条件下で、有限空間上の経験的 Wasserstein 距離の漸近的分布は導出可能か？
• RQ2 標準的 $ n $-out-of-$ n $ ブートストラップが Wasserstein 距離に対してなぜ失敗するのか、そしてどのような代替ブートストラップ法が有効か？
• RQ3 標本に基づく Wasserstein 距離に対して、信頼区間のような統計的推論はどのように構築できるか？
• RQ4 帰無仮説および対立仮説下で、有限空間における経験的 Wasserstein 距離の収束速度は何か？
• RQ5 この手法は、バーチャルセンター（barycenters）やエントロピー正則化距離などの他の最適輸送汎関数へ拡張可能か？

主な発見

• 有限空間上の経験的 Wasserstein 距離の漸近的分布は、確率的目的関数を持つ線形計画問題の最適値として導出され、統計的推論が可能になる。
• 極限分布は非退化でガウス分布であり、最適値写像の方向的 Hadamard 連続性を用いて導出される。
• $ n $-out-of-$ n $ ブートストラップは Wasserstein 距離に対して失敗するが、$ m/n \to 1 $ のとき $ m $-out-of-$ n $ ブートストラップは一貫性を示す。
• 帰無仮説下ではスケーリングレートは $ n^{1/4} $、対立仮説下では $ n^{1/2} $ であり、収束の挙動の違いが反映される。
• 本手法は、$ p < 1 $ の非メトリックなコスト行列を含め、任意のコスト行列に適用可能であり、従属標本へも拡張可能である。
• 方向的微分可能性を介して、Wasserstein バーチャルセンター、測地的 PCA、その他の輸送ベースの汎関数の推論を支援するフレームワークを提供する。