[論文レビュー] Infinite connected sums, K-area and positive scalar curvature

Levi Lopes de Lima|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界幾何における$K$-面積不変量を用いて、無限個のスピン多様体の連結和における正のスカラー曲率の新たな障害を確立している。特に、$K$-面積が無限大である多様体を連結和に接続すると、その和の$K$-面積も無限大になることを示し、その結果、有界幾何のクラスにおいて正のスカラー曲率を持つ計量が存在しえないことを証明している。これは、インデックス理論に基づく先行研究を一般化するものである。

ABSTRACT

Whyte used the index theory of Dirac operators and Block-Weiberger uniformly finite homology to show that certain infinite connected sums do not carry a metric with nonnegative scalar curvature in their bounded geometry class. His proof uses a coarse version of the $\hat{A}$-class to obstruct such metrics. In this note we prove a version of Whyte's result where a variant of the notion of infinite $K$-area, originally due to Gromov, is used to obstruct metrics with positive scalar curvature.

研究の動機と目的

• 無限大連結和における正のスカラー曲率の障害を、インデックス理論に依存しない方法へと拡張すること。
• 有界幾何の文脈において、有界$K$-面積不変量がより強力で一般的な障害を提供することを確立すること。
• 連結和における無限大$K$-面積が、正のスカラー曲率計量の非存在を示すこと。
• 有界$K$-面積$K_{\rm area}^b(X) = +\infty$が、任意に大きなコンパクト集合の外部でスカラー曲率が非正となる計量が存在しないことを示すこと。
• スカラー曲率の障害としての$K$-面積が、$4$の倍数に限らないすべての偶数次元に適用可能であることを示すこと。これに対して、$˂ A$-類の障害は$4$の倍数に限られる。

提案手法

• グローマンの$K$-面積の概念を、不変量$K_{\rm area}^b(X)$を用いて有界幾何に適応し、これは有界微分同相写像に関して安定である。
• 有界幾何の圏${\mathcal{B}\mathcal{G}}_{n}$を、アーメン型（$H_0^{\rm uf}(X) \neq 0$）と非アーメン型に分解する。
• $K_{\rm area}(M) = +\infty$ かつ $Y \in \mathcal{B}\mathcal{G}_{2k}^A$ で $K_{\rm area}^b(Y)$ が有限であるとき、$K_{\rm area}^b(Y \sharp_S M) = +\infty$ を証明する。
• ベクトルバンドル上のアダムス作用を用いてチャーン類を解析し、有界チャーン数の消失を導出する。
• スペクトル理論と曲率の上限を用いて、大域的な領域におけるディラック作用素のインデックスおよび$L^2$ノルムを推定する。
• 普遍多項式関係を用いて、問題を有界チャーン類および有界チャーン特徴類の消失に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界幾何における無限大連結和において、$K$-面積不変量を用いて正のスカラー曲率を遮断できるか？
• RQ2 $K$-面積が無限大である多様体を接続した場合、無限大連結和の$K$-面積は有限のままであるか？
• RQ3 すべての偶数次元に適用可能で、$˂ A$-類の障害よりも強い幾何的障害は存在するか？
• RQ4 $˂ A$-類が消える場合でも、$K$-面積不変量が正のスカラー曲率計量の非存在を検出できるか？
• RQ5 一様有限ホモロジーと有界幾何の役割は、無限大連結和における$K$-面積の安定性にどのように寄与するか？

主な発見

• もし$Y \in \mathcal{B}\mathcal{G}_{2k}^A$が$K_{\rm area}^b(Y)$を有限に持ち、かつ$[S] \neq 0$が$H_0^{\rm uf}(Y)$に属するならば、$K_{\rm area}(M) = +\infty$ ならば、$Y \sharp_S M$ に対して$K_{\rm area}^b(Y \sharp_S M) = +\infty$ が成り立つ。
• 有界幾何のクラスに属する多様体$X \in \mathcal{B}\mathcal{G}_{2k}$で$K_{\rm area}^b(X) = +\infty$ であるとき、任意に大きなコンパクト集合の外部でスカラー曲率が非正となる計量は持ちえない。
• 特に、このような多様体はその有界幾何のクラスにおいて正のスカラー曲率を持つ計量をもたない。
• $K$-面積の障害は、$4$の倍数に限らないすべての偶数次元$2k$に適用可能であり、$˂ A$-類の障害よりも一般性が強い。
• $K$-面積の有限性から、すべての有界チャーン数${c}_I^b({\mathcal{E}})$の消失が従い、これは${\mathcal{E}}$が$b$-ホモロジカルに自明であることを意味する。
• 証明はアダムス作用と曲率制御されたスペクトル推定に依拠しており、$K_{\rm area}^b(X) < \infty$ であると仮定すると、減少チャーン類が消失しなければならないが、これは矛盾を引き起こす。