[論文レビュー] Infinite time horizon spatially distributed optimal control problems with pde2path algorithms and tutorial examples

Hannes Uecker, Hannes de Witt|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、pde2pathを用いて、放物型PDEの無限時間ホライズン最適制御問題を継続法および分岐法により解くための数値フレームワークを提示する。ポントリャーギンの最大原理と二段階アルゴリズムを組み合わせ、初期状態から標準的定常状態（CSS）または周期状態（CPS）を接続する正準経路を計算する。生態的および経済的モデル、例えば浅い湖のリン管理、植生ダイナミクス、境界制御を伴う汚染低減において、収束性と分岐解析の堅牢性を示している。

ABSTRACT

We use the continuation and bifurcation package pde2path to numerically analyze infinite time horizon optimal control problems for parabolic systems of PDEs. The basic idea is a two step approach to the canonical systems, derived from Pontryagin's maximum principle. First we find branches of steady or time-periodic states of the canonical systems, i.e., canonical steady states (CSS) respectively canonical periodic states (CPS), and then use these results to compute time-dependent canonical paths connecting to a CSS or a CPS with the so called saddle point property. This is a (high dimensional) boundary value problem in time, which we solve by a continuation algorithm in the initial states. We first explain the algorithms and then the implementation via some example problems and associated pde2path demo directories. The first two examples deal with the optimal management of a distributed shallow lake, and of a vegetation system, both with (spatially, and temporally) distributed controls. These examples show interesting bifurcations of so called patterned CSS, including patterned optimal steady states. As a third example we discuss optimal boundary control of a fishing problem with boundary catch. For the case of CPS-targets we first focus on an ODE toy model to explain and validate the method, and then discuss an optimal pollution mitigation PDE model.

研究の動機と目的

• 分布および境界制御を伴う放物型PDEに支配される無限時ホライズン最適制御問題を解くための計算フレームワークの開発。
• Pontryaginの最大原理から導かれる正準系の数値解析を、継続法および分岐法を用いて可能にする。
• 初期状態から正準定常状態または周期状態に接続する時間依存の正準経路（CP）を計算し、最適性のためのサドルポイント性を保証する。
• リン管理の湖、植生ダイナミクス、境界制御を伴う汚染低減といった実世界のモデルに、本手法を適用して実証する。
• ODEのトロイモデルを用いた妥当性検証を行い、特に分岐点付近においてODEとPDEの解の整合性を示す。

提案手法

• PDE最適制御問題のハミルトニアンから出発し、Pontryaginの最大原理を適用して正準系を導出する。
• pde2pathを用いて、数値継続法により正準定常状態（CSS）および正準周期状態（CPS）の分岐を計算する。
• 初期状態からCSSまたはCPSに接続する正準経路（CP）を、時間依存の正準系の解として構築し、サドルポイント性を満たす。
• 二段階継続アルゴリズムを実装：まずCSS/CPSを計算し、次に初期状態継続法を用いて、時間区間Tを増加させながらCPをトレースする。
• CPSをターゲットとする場合、短いTから開始し、周期解のコピーを繰り返し接続することで経路を延長し、許容誤差に基づく継続戦略を用いて収束性を向上させる。
• pqzschurを用いて中心不安定固有空間に射影する。これは、拡散および反拡散効果に起因する大きなおよび小さな固有値を扱う上で極めて重要である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布および境界制御を伴う無限時ホライズンPDE最適制御問題に対して、正準経路をどのように効率的に計算できるか。
• RQ2 正準定常状態および周期状態の分岐が、空間的に分布する系における最適制御戦略に果たす役割は何か。
• RQ3 最適制御解に現れる空間的パターンはどのようにして生じるのか。また、正準系の不安定性とどのような関係があるか。
• RQ4 ODEベースのトロイモデルは、特にホフ分岐点付近において、PDEの正準経路の挙動を正確に予測できるか。
• RQ5 高次元の不安定多様体を伴う状況下でも、正準経路が周期的ターゲットに収束するための数値的戦略は何か。

主な発見

• ρ=0.55における安定なCSSへの正準経路は、近いホフ分岐に起因し、収束が遅く、最も遅い減衰率μ≈0.0059を示す。
• 初期状態(v₀,w₀)=(0.4,0.4)の場合、高い初期の削減投資と排出削減に起因し、最適経路による評価関数値は負のJ≈−0.1297をとる。
• 初期状態(v₀,w₀)=(0,0)の場合、排出量の増加と初期段階での削減投資の欠如により、最適経路による評価関数値は正のJ≈0.0202をとる。
• ρ=0.57における均一なCPSへの正準経路は、T≈10Tₚで最終的な偏差∥u(1)−û₀∥∞≈10⁻⁴に収束し、後続の精密化により10⁻⁶にまで低下する。
• ρ=0.56におけるパターン付きCPS（h1/pt8）へのCPは、初期段階でCSSに近づくが、PDEにおける弱い不安定性により、非一様周期状態に移行する。
• ターゲットCPSを半周期分位相シフトさせると、切断時間Tは約半周期分変化し、周期構造との整合性が確認された。