[論文レビュー] Infinity Algebras, Massey Products, and Deformations

Michael Penkava, Lynelle Lang Weldon|ArXiv.org|Aug 12, 1998

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、A-infinityおよびL-infinity代数の変形から生じる一般化されたマッセイ積を導入し、形式的変形がA-infinity代数およびL-infinity代数の変形が、Z2-graded Lie代数の変形と同じ代数的構造をもたらすことを示している。本稿では、ベースを備えた無限代数に対して一般化されたモーラー＝カルタン公式を確立し、以前の、次数付き可換代数とテンソル積をとったLie代数に関する結果を拡張している。

ABSTRACT

In this paper we give some examples of generalized Massey products, arising from deformations of A-infinity and L-infinity algebras. The generalized Massey products are given by certain graded commutative algebra structures, depending on the deformation problem considered. We show that the formal deformations of infinity algebras give rise to the same algebraic structure as the deformations of Z2-graded Lie algebras. However, the problem of deforming a Lie algebra into an L-infinity algebra, or an associative algebra into an A-infinity algebra gives rise to a new algebra. We also consider deformations of infinity algebras with a base. In math.QA/9602024, it was shown that the Jacobi identity for a bracket on the tensor product of a Lie algebra and a graded commutative algebra is equivalent to a Maurer-Cartan formula. We prove a generalized result in the case of infinity algebras.

研究の動機と目的

• 変形理論を通じて、A-infinityおよびL-infinity代数の文脈における一般化されたマッセイ積を調査すること。
• 形式的変形が無限代数から生じる代数的構造が、Z2-graded Lie代数の変形と比較してどのようになるかを特定すること。
• ベースを備えた無限代数へと、ジャコビ恒等式とモーラー＝カルタン公式の間の既知の同値性を拡張すること。
• 結合的代数およびLie代数の変形をA-infinityおよびL-infinity代数にすることにより、新たな代数的構造を同定すること。
• 無限代数におけるモーラー＝カルタン公式を一般化し、math.QA/9602024におけるLie代数に関する結果に類似した結果を得ること。

提案手法

• A-infinityおよびL-infinity代数の変形理論を用いて、一般化されたマッセイ積を構成すること。
• 変形の代数的データを符号化するために、次数付き可換代数構造を用いること。
• Z2-graded Lie代数からの結果を一般化するために、無限代数におけるモーラー＝カルタン方程式の枠組みを適用すること。
• 結合的代数をA-infinity代数に、Lie代数をL-infinity代数に変形する問題として、それぞれの変形問題を別個に分析すること。
• テンソル積上の括弧に関するジャコビ恒等式と、無限代数設定における一般化されたモーラー＝カルタン公式との対応関係を確立すること。
• 曲がった無限代数およびベース拡張の形式的枠組みを用いて、構造を備えた変形をモデル化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A-infinityおよびL-infinity代数の変形からどのような代数的構造が生じるか？
• RQ2 一般化されたマッセイ積は、無限代数の変形理論とどのように関係しているか？
• RQ3 次数付き可換代数は、無限代数の変形データを符号化するために果たす役割は何か？
• RQ4 ベースを備えた無限代数の文脈において、モーラー＝カルタン方程式はどのように一般化されるか？
• RQ5 Lie代数をL-infinity代数に変形することと、結合的代数をA-infinity代数に変形することの違いは何か？

主な発見

• 形式的変形が無限代数から生じる代数的構造は、Z2-graded Lie代数の変形から生じる構造と同じである。
• 結合的代数をA-infinity代数に、Lie代数をL-infinity代数に変形することは、新たな別個の代数的構造を生じる。
• 一般化されたマッセイ積は、変形問題に依存する次数付き可換代数構造によって符号化される。
• Lie代数と次数付き可換代数のテンソル積上の括弧に関するジャコビ恒等式は、無限代数設定における一般化されたモーラー＝カルタン公式と同値である。
• 本稿では、math.QA/9602024の結果を無限代数へと一般化し、ベースを備えた変形に対するモーラー＝カルタン型方程式を確立した。
• 次数付き可換構造を通じて、A-infinityおよびL-infinity代数における変形理論的構成を統一する枠組みが得られた。