[論文レビュー] Injective Edge Chromatic Index of a Graph

Domingos M. Cardoso, Jorge Orestes Cerdeira+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、連続する辺（3つの辺からなる経路またはサイクル）において、最初と3番目の辺が異なる色で塗られるべき「単射的辺彩色」の概念を導入する。いくつかのグラフクラスにおける単射的辺彩色指数の正確な値を確立し、境界を導出し、この指数を求める問題がNP完全であることを証明する。これにより、パケットラジオネットワークにおける2次干渉をモデル化する際の計算複雑性と実用的関連性が強調される。

ABSTRACT

Three edges $e_{1}, e_{2}$ and $e_{3}$ in a graph $G$ are consecutive if they form a path (in this order) or a cycle of length three. An injective edge coloring of a graph $G = (V,E)$ is a coloring $c$ of the edges of $G$ such that if $e_{1}, e_{2}$ and $e_{3}$ are consecutive edges in $G$, then $c(e_{1}) eq c(e_3)$. The injective edge coloring number $χ_{i}^{'}(G)$ is the minimum number of colors permitted in such a coloring. In this paper, exact values of $χ_{i}^{'}(G)$ for several classes of graphs are obtained, upper and lower bounds for $χ_{i}^{'}(G)$ are introduced and it is proven that checking whether $χ_{i}^{'}(G)= k$ is NP-complete.

研究の動機と目的

• 単射的辺彩色という、連続する辺(e1,e2,e3)に対してc(e1) ≠ c(e3)が成り立つような、新しい辺彩色の形式的定式化とその研究。
• パスPn、サイクルCn、完全グラフ、およびペテルセングラフを含む特定のグラフ族における単射的辺彩色指数χ′_i(G)の決定。
• 一般のグラフにおけるχ′_i(G)の上界と下界の確立。
• 与えられたkに対してχ′_i(G) = kかどうかを決定する問題の計算複雑性の分析。
• パケットラジオネットワーク（PRNs）における2次干渉のモデル化への単射的辺彩色の適用可能性の提示。

提案手法

• 単射的辺彩色を、c:E(G)→C と定義し、任意の3つの連続する辺e1,e2,e3に対してc(e1) ≠ c(e3)が成り立つようにする。
• 構造的グラフ解析を用いて、パスPn、サイクルCn、完全二部グラフKp,q、およびペテルセングラフのχ′_i(G)の正確な値を導出する。
• χ′_i(G) = ω′(G) を満たす「ω′EICグラフ」の概念を導入し、例を提示する。
• 最大次数Δ(G)=3の辺彩色問題を単射的辺彩色に還元することでNP完全性を証明する。この還元には、基本グラフBを用いたグラフ変換を用いる。
• 色の制約を強制するためのガジェットグラフB（5本の辺と4つの頂点を持つ）を構築し、元のグラフGの有効なk-辺彩色が、G(B)の有効なk-単射的辺彩色に対応することを保証する。
• 変換G → G(B)を用いて、χ′(G) = χ′_i(G(B))を示し、通常の辺彩色数と単射的辺彩色数を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パス、サイクル、完全グラフ、完全二部グラフにおける単射的辺彩色指数χ′_i(G)は何か？
• RQ2 どのグラフクラスにおいてχ′_i(G)が最大次数またはグラフのサイズに等しくなるか？
• RQ3 一般のグラフにおけるχ′_i(G)のタイトな上界と下界は何か？
• RQ4 与えられたkに対してχ′_i(G) = k かどうかを決定する問題は、計算的に容易か、NP完全か？
• RQ5 単射的辺彩色は、パケットラジオネットワークにおける2次干渉のモデル化と緩和に応用可能か？

主な発見

• すべてのn ≥ 4に対してχ′_i(Pn) = 2。
• n ≡ 0 (mod 4)のときχ′_i(Cn) = 2、それ以外の場合は3。
• 完全二部グラフにおいてχ′_i(Kp,q) = min{p, q}。
• ペテルセングラフにおいてχ′_i = 5であり、色の置換を除いて一意の5色彩色が存在する。
• Gに3辺の経路またはサイクルが存在しない場合に限りχ′_i(G) = 1。
• χ′_i(G) = k かどうかを決定する問題はNP完全であり、最大次数3の辺彩色問題への還元により証明された。