[論文レビュー] Injective Envelopes of $C^*$-algebras as Operator Modules

Michael Frank, Vern I. Paulsen|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、単位元をもつ $C^*$-代数 $A$ の単射包 $I(A)$ が、単射作用素系であるだけでなく、完全有界 $A$-加群構造に関して最小の単射左（および右）作用素 $A$-加群であることを確立し、$I(A)$ が完全有界 $A$-加群写像に関して剛性を示すことを証明している。主な結果は、$A$ の $n$ 回反復局所乗算子代数が $I(A)$ に $*$-同型に埋め込まれ、$I(A)$ がそのような局所乗算子代数の単射包と一致することである。

ABSTRACT

In this paper we give some characterizations of M. Hamana's injective envelope I(A) of a C*-algebra A in the setting of operator spaces and completely bounded maps. These characterizations lead to simplifications and generalizations of some known results concerning completely bounded projections onto C*-algebras. We prove that I(A) is rigid for completely bounded A-module maps. This rigidity yields a natural representation of many kinds of multipliers as multiplications by elements of I(A). In particular, we prove that the(n times iterated) local multiplier algebra of A embeds into I(A). Some remarks on local left/right/quasi multiplier algebras as subsets of I(A) are added.

研究の動機と目的

• 作用素加群および完全有界 $A$-加群写像の圏における $C^*$-代数 $A$ の単射包 $I(A)$ を特徴付けること。
• 完全正値写像に関するハマナの剛性定理を、完全有界 $A$-加群写像の設定に一般化すること。
• $I(A)$ が完全有界 $A$-加群写像に関して剛性を示すことを証明し、乗算作用素としての乗算子の表現を可能にすること。
• $A$ の $n$ 回反復局所乗算子代数が $I(A)$ に $*$-同型に埋め込まれることを証明し、既知の乗算子代数に関する結果を拡張すること。
• $I(A)$ がその局所乗算子代数 $M_{\text{loc}}(A)$ の単射包でもあることを確立し、すべての $k \geq 1$ に対して $I(A) = I(M_{\text{loc}}^{(k)}(A))$ が成り立つこと。

提案手法

• 完全有界 $A$-加群写像の研究を、行列拡大における完全正値写像の解析に還元するために、非対角化のテクニックを用いる。
• 特定の作用素系 $\mathcal{S} \subset M_2(I(A))$ に定義された写像 $\Phi: \mathcal{S} \to M_2(I(A))$ を構成し、与えられた完全有界 $A$-加群写像 $\varphi: E \to I(A)$ を拡張する。ここで $\mathcal{S}$ は $A$、$E \subseteq I(A)$、および $\mathbb{C}$ の要素から構成される。
• ハマナの剛性定理と行列代数上の完全正値写像の構造を適用し、$\varphi$ が $I(A)$ のある要素 $y$ による右（または左）乗算から生じることを示す。ここで $\|y\| = \|\varphi\|_{cb}$ である。
• 拡張の一意性と $A$-加群構造を用いて、$I(A)$ が単射左 $A$-加群の中で最小であることを示す。
• $I(A)$ の剛性を用いて構成された $M_{\text{loc}}(A)$ から $I(A)$ への $*$-単射を用い、$I(A)$ が $M_{\text{loc}}(A)$ の単射包でもあることを示す。
• $I(A)$ が単射的であり、$A$ を $C^*$-部分代数として含むことから、$I(A)$ が $M_{\text{loc}}(A)$ の一意な単射包であることを導き、すべての $k \geq 1$ に対して $I(A) = I(M_{\text{loc}}^{(k)}(A))$ が成り立つこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位元をもつ $C^*$-代数 $A$ の単射包 $I(A)$ は、完全有界 $A$-加群写像に関して最小の単射左（または右）作用素 $A$-加群として特徴付けられるか？
• RQ2 $I(A)$ が完全有界 $A$-加群写像に関して剛性を示す場合、乗算作用素としての乗算子が $I(A)$ の要素による乗算として表現可能か？
• RQ3 $A$ の $n$ 回反復局所乗算子代数は $I(A)$ に $*$-同型に埋め込まれるか？
• RQ4 $I(A)$ は $M_{\text{loc}}(A)$ の単射包と一致するか？さらに一般に、すべての $k \geq 1$ に対して $I(M_{\text{loc}}^{(k)}(A))$ と一致するか？
• RQ5 $I(A)$ が $M_{\text{loc}}(A)$ と一致する、あるいは $I(A)$ 内での $A$ の正規化モノトーン完備化 $\overline{A}$ と一致する条件は何か？

主な発見

• 単位元をもつ $C^*$-代数 $A$ の単射包 $I(A)$ は、完全有界 $A$-加群写像に関して剛性を示す：$A$ を固定するような任意の写像は $I(A)$ 上で恒等写像である。
• 任意の完全有界左（または右）$A$-加群写像 $\varphi: E \to I(A)$ に対して、ここで $E \subseteq I(A)$ は $A$-不変部分空間であるが、$I(A)$ のある要素 $y$ による右（または左）乗算から生じる。ここで $\|y\| = \|\varphi\|_{cb}$ である。
• $A$ の局所乗算子代数 $M_{\text{loc}}(A)$ は $I(A)$ に $*$-同型に埋め込まれ、この埋め込みはすべての反復局所乗算子代数へ拡張可能である。
• $A$ の単射包 $I(A)$ は、$M_{\text{loc}}(A)$ の単射包でもあるため、すべての $k \geq 1$ に対して $I(A) = I(M_{\text{loc}}^{(k)}(A))$ が成り立つ。
• 可換な単位元をもつ $C^*$-代数 $A$ に対して、$I(A)$ は $M_{\text{loc}}(A)$ と $*$-同型であり、$K$（コンパクト作用素）を含む $A$ に対しては、$I(A)$ は $B(H)$ と $*$-同型である。
• 非単位元 $C^*$-代数に対しても、単位化を用いることで結果が拡張され、$I(A) = I(B)$ となる（ここで $B$ は $A$ の単位化）ため、$I(A)$ は $M_{\text{loc}}^{(k)}(A)$ の単射包のまま保たれる。